Souci avec une série entière

yaya1103 · April 2019

Bonjour à tous.
Je n'arrive pas à calculer la série entière $$ \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac {x^n}{n^n} .
$$ Désolé de la notation. Mon professeur me disait que lorsque nous avons du $n$ au dénominateur c'est que nous avons dû intégrer pour arriver à cette série.
Je suis donc parti de la série des $x^n$ qui vaut $1/(1-x)$ et j'ai intégré et je suis tombé sur du $x^n/n = -\ln(1-x)$, j'ai donc intégré de nouveau pour essayer de trouver une forme générale et je tombe sur la série des $x^n+1/(n*n+1) = (x-1)(1 - \ln(1-x)$.

Même avec des changements d'indices, je ne pourrais pas retomber sur du $n^n$ en dessous. J'ai donc pensé le faire avec des séries de [large]R[/large]iemann mais toujours pas, ainsi que le coefficient binomial, mais cela ne marche pas non plus...
Avez-vous de l'aide à me proposer ?
Cordialement,
Yanis

[Bernhard Riemann (1826-1866) prend toujours une majuscule. AD]

marsup · April 2019

Je ne suis pas sûr que cette fonction ait une définition plus sympathique que celle que tu as donnée.

En effet, pour $x = 1$, on trouve la constante 1.291285997... du "sophomore's dream", mais internet n'a rien de particulier à dire sur cette constante, donc vraisemblablement sur la série entière non plus.

P. · April 2019

Le terme $n=0$ est obscur. Pour la suite utilisant $1/a^b=\int_0^{\infty}e^{-at}t^{b-1}dt/\Gamma(b)$ on compactifie un peu pour ecrire
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^n}=x\int_0^{\infty}e^{-t}e^{e^{-t}xt}dt=x\int_0^1u^{-ux}du.$$