Suite implicite

J'essaierais bien quelque chose comme suit :

On nous demande de montrer : $\ln(a_n) - \ln(n) = \ln(\frac{a_n}{n}) = o (\ln(n))$.

En d'autres termes : $\ln(a_n) \sim \ln(n)$.

Notons $v_n = \ln(a_n)$. Alors $\frac{v_n^2}{\exp(v_n)} = \frac{1}{n}$.

On note $g(x) = x^2 \cdot \exp(-x)$, pour écrire $g(v_n) = \frac{1}{n}$.

Maintenant : $g(v_{n+1}) - g(v_n) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = - \frac{1}{n(n+1)}$.

Or $g'(x) = - (x^2 - 2x)\cdot \exp(-x) \sim -g(x)$. (pour $x\to\infty$)

Par accroissements finis $g(v_{n+1}) - g(v_n) = g'(c_n) \cdot (v_{n+1}-v_n) \sim -\underbrace{g(c_n)}_{\sim 1/n} (v_{n+1}-v_n)$.

Il nous reste donc $- \frac{1}{n} \cdot (v_{n+1}-v_n) \sim - \frac{1}{n(n+1)}$.

En sommant l'équivalent $v_{n+1} - v_n \sim \frac{1}{n+1}$, il vient bien : $v_n \sim \ln(n)$.

Bonjour,

J'aurais procédé ainsi:

Par définition de $(a_n)_{n\geqslant 2}$, $\ln(a_n)^2=\dfrac{a_n}{n}$.
Comme $(a_n)_{n\geqslant 2}$ diverge vers $+\infty$, on en déduit que $\left(\dfrac{a_n}{n}\right)_{n\geqslant 2}$ diverge également vers $+\infty$.
On pose, pour tout $n\geqslant 2$, $u_n = \dfrac{a_n}{n}$.
On montre alors sans difficulté que, pour tout $n\geqslant 2$, $nu_n = e^{\sqrt{u_n}}$
Ainsi, pour tout $n\geqslant 2$, $\ln(n)+\ln(u_n) = \sqrt{u_n}$
Donc, pour tout $n\geqslant 2$, $\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{u_n}}+\dfrac{\ln(u_n)}{\sqrt{u_n}} = 1$
Comme $(u_n)_{n\geqslant 2}$ diverge vers $+\infty$ (d'après ce qui précède), par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ln(u_n)}{\sqrt{u_n}} = 0$
Donc, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ln(n)}{\sqrt{u_n}}=1$
Donc, $\sqrt{u_n}\underset{n\to +\infty}{\sim}\ln(n)$
Donc, $u_n\underset{n\to +\infty}{\sim}\ln(n)^2$
Donc, $$a_n\underset{n\to +\infty}{\sim}n\ln(n)^2$$

Edit: c'est exactement ce que propose Math Coss

Par exemple, ou bien comme l'a dit Bbidule : $u_n=\ln^2a_n$ et $(a_n)$ diverge vers l'infini.