Continuité sur un intervalle ouvert

Non, non, c’est faux !
Tu peux trouver un exemple de fonction qui contredit cette assertion.

Édit : je n’avais pas vu l’intervention de P.

Allez, on se lance :
La démonstration de $f$ est continue sur $]-R,R[$ peut commencer par : "Soit $x$ un réel dans $]-R,R[$".

J'aurais plutôt dit : alors il existe $r$ tel que $x$ est dans $[-r,r]$.

[small]Pourquoi cherches-tu à te restreindre à une couronne d'ailleurs ? (c'est un droit, bien entendu, mais tu sembles y tenir dans deux de tes messages)[/small]

Puis c'est ce que tu dis :
Comme $f$ est continue sur $[-r,r]$, elle est donc continue en tout point de $[-r,r]$ donc en $x$.

L'idée est d'utiliser le fait que la continuité est une propriété locale.
Il faut se méfier des "continue sur un ensemble" qui ne sont que des raccourcies pour "continue en tous les points de l'ensemble".

Heu ... il faudrait peut-être utiliser l'hypothèse, non ?? Et ]-r, r[ me semble un ouvert tout à fait crédible.

Je vais être franc, je ne comprends pas l’idée de « la définition de l’ouvert » ici.

Est-ce pour utiliser la définition de la continuité avec l’image réciproque d’un ouvert ?

Dans la preuve, il n’est pas du tout question de cela. C’est bien plus trivial.
En gros il suffit de trouver un ensemble contenant $x$ (ouvert ou fermé ou ni l’un ni l’autre, on s’en fiche) où la fonction est continue.