Continuité sur un intervalle ouvert
Bonjour
Soient r et R deux réels tels que 0<r<R et f une fonction définie sur l'intervalle ouvert ]-R;+R[ et continue sur le segment [-r;r]
Comment montrer alors que f est continue sur l'intervalle ouvert ]-R;R[ ?
Je sens que c'est vrai mais n'arrive pas à le faire "bien comme il faut", même en utilisant la définition d'un ouvert..
Merci d'avance.
[Tes touches '[' et ']' ne marchent pas ? :-D AD]
Soient r et R deux réels tels que 0<r<R et f une fonction définie sur l'intervalle ouvert ]-R;+R[ et continue sur le segment [-r;r]
Comment montrer alors que f est continue sur l'intervalle ouvert ]-R;R[ ?
Je sens que c'est vrai mais n'arrive pas à le faire "bien comme il faut", même en utilisant la définition d'un ouvert..
Merci d'avance.
[Tes touches '[' et ']' ne marchent pas ? :-D AD]
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Réponses
Tu peux trouver un exemple de fonction qui contredit cette assertion.
Édit : je n’avais pas vu l’intervention de P.
La démonstration de $f$ est continue sur $]-R,R[$ peut commencer par : "Soit $x$ un réel dans $]-R,R[$".
En fait la proposition (1) est une intuition mais je ne m'appuie pas vraiment sur la définition d'intervalle ouvert, sinon les bornes seraient ouvertes. Cependant j'ai tout de même l'impression que c'est vrai.
[small]Pourquoi cherches-tu à te restreindre à une couronne d'ailleurs ? (c'est un droit, bien entendu, mais tu sembles y tenir dans deux de tes messages)[/small]
Puis c'est ce que tu dis :
Comme $f$ est continue sur $[-r,r]$, elle est donc continue en tout point de $[-r,r]$ donc en $x$.
L'idée est d'utiliser le fait que la continuité est une propriété locale.
Il faut se méfier des "continue sur un ensemble" qui ne sont que des raccourcies pour "continue en tous les points de l'ensemble".
Est-ce pour utiliser la définition de la continuité avec l’image réciproque d’un ouvert ?
Dans la preuve, il n’est pas du tout question de cela. C’est bien plus trivial.
En gros il suffit de trouver un ensemble contenant $x$ (ouvert ou fermé ou ni l’un ni l’autre, on s’en fiche) où la fonction est continue.
Si c'est cela que tu utilises, faut le dire, pas parler de [r-R;R-r].