Souci sur l’orthogonal

Que peux-tu dire du produit de deux fonctions, l'une paire et l'autre impaire?
Remarque que l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à l'origine : $0$.

Pour la $2)$
**Soit $(f,g)\in\mathcal{P}\times \mathcal{I}.$

On a $<f,g>=0$ car la fonction $fg$ est impaire (comme produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire) et l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à $0.$

**Soit $f\in \mathcal{P}^{\bot}.$

On écrit alors $f=a+b$ où $(a,b)\in\mathcal{P}\times \mathcal{I}.$
Alors par la question précédente, on a pour tout $g\in \mathcal{P},$ $<f,g>=0=<a,g>.$
En particulier, en choisissant $g=a,$ on obtient $<a,a>=0,$ et alors $a=0.$
Et ainsi, $f\in \mathcal{I}$ (vu que sa partie paire est nulle).

Pour la $3)$
L'inclusion réciproque est immédiate.
.
En effet, par la question précédente si $f\in \mathcal{I}$ alors $f$ est orthogonal à toutes les fonctions paires. Ceci est précisément dire que $\mathcal{I}\subset \mathcal{P}^{\bot}.$
D'où l'égalité ensembliste désirée.

*Schématiquement, il faut bien revoir comment attaquer une démonstration d'inclusion et bien comprendre la définition de l'orthogonal d'une partie.
**Cet exercice est précisément la caractérisation suivante des projecteurs orthogonaux :
si tu as un projecteur tel que tout élément de son image est orthogonal à un élément de son noyau alors le projecteur est auto-adjoint i.e. il s'agit d'un projecteur orthogonal.