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Envoyé par hicham000 
Prolongement
il y a trois mois
Bonjour,
merci de m'aider svp.

Soient $f \in C (\R^+, \R)$ et $F :\R^{+*}\rightarrow \R,\ x \mapsto\frac{1}{x} \int_{0}^{x}f(t)dt.$
Montrer que $F$ peut être prolongée en une fonction continue en 0.

Bonne journée.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: prolongement
il y a trois mois
avatar
Bonsoir Hicham :

Sauf erreur de ma part, tu dois remarquer que :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } F(x) = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt $
$ = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ \int_0^x f(t) dt - \int_0^0 f(t) dt }{x-0} $
Re: Prolongement
il y a trois mois
Bonjour,

Développement limite en 0 (ou équivalent)
f(x) ~ f(0)
Donc la primitive de f qui s'annule en 0 ~ xf(0)
Dinc F(x) ~ f(0)

F est donc prolongeable par continuité

Remplacez f(t) par f(t) - f(0) dans l'intégrale et montrez que cette dernière tend vers 0 et ecrivant la continuité de f en 0.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Prolongement
il y a trois mois
je te propose d'appliquer le théorème de la moyenne de f entre 0 et x
Re: Prolongement
il y a trois mois
Hicham : la méthode la plus simple est celle de Pablo ; il s'agit de la limite d'un taux d'accroissement.
Re: Prolongement
il y a trois mois
Ou bien on peut prendre l'exercice comme prétexte pour démontrer que $x\mapsto xF(x)$ est une primitive de $f$.
Re: Prolongement
il y a trois mois
Merci beaucoup pour vos réponses winking smiley

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
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