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Analyse
Prolongement
hicham000
May 2019
dans
Analyse
B
onjour,
merci de m'aider svp.
Soient $f \in C (\R^+, \R)$ et $F :\R^{+*}\rightarrow \R,\ x \mapsto\frac{1}{x} \int_{0}^{x}f(t)dt.$
M
ontrer que $F$ peut être prolongée en une fonction continue en 0.
B
onne journée
.
Réponses
Pablo_de_retour
May 2019
Bonsoir Hicham :
Sauf erreur de ma part, tu dois remarquer que :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } F(x) = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt $
$ = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ \int_0^x f(t) dt - \int_0^0 f(t) dt }{x-0} $
side
May 2019
supp
Said Fubini
May 2019
je te propose d'appliquer le théorème de la moyenne de f entre 0 et x
john_john
May 2019
Hicham : la méthode la plus simple est celle de Pablo ; il s'agit de la limite d'un taux d'accroissement.
Math Coss
May 2019
Ou bien on peut prendre l'exercice comme prétexte pour démontrer que $x\mapsto xF(x)$ est une primitive de $f$.
hicham000
May 2019
M
erci beaucoup pour vos réponses ;-)
B
onne journée.
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Réponses
Sauf erreur de ma part, tu dois remarquer que :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } F(x) = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt $
$ = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ \int_0^x f(t) dt - \int_0^0 f(t) dt }{x-0} $
Bonne journée.