Prolongement

hicham000
hicham000
dans Analyse
Bonjour,
merci de m'aider svp.

Soient $f \in C (\R^+, \R)$ et $F :\R^{+*}\rightarrow \R,\ x \mapsto\frac{1}{x} \int_{0}^{x}f(t)dt.$
Montrer que $F$ peut être prolongée en une fonction continue en 0.

Bonne journée.

Réponses

  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonsoir Hicham :

    Sauf erreur de ma part, tu dois remarquer que :
    $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } F(x) = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt $
    $ = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ \int_0^x f(t) dt - \int_0^0 f(t) dt }{x-0} $
  • side
    side
    supp
  • Said Fubini
    Said Fubini
    je te propose d'appliquer le théorème de la moyenne de f entre 0 et x
  • john_john
    john_john
    Hicham : la méthode la plus simple est celle de Pablo ; il s'agit de la limite d'un taux d'accroissement.
  • Math Coss
    Math Coss
    Ou bien on peut prendre l'exercice comme prétexte pour démontrer que $x\mapsto xF(x)$ est une primitive de $f$.
  • hicham000
    hicham000
    Merci beaucoup pour vos réponses ;-)

    Bonne journée.
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