Reste d'un DL dérivé
Bonjour
J'ai une question qui me parait un peu bête, mais je n'arrive pas à me faire une idée précise de la réponse. Donc ...
Quand une fonction $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est $\ \mathcal{C}^n$, et qu'elle admet un développement limité ($DL$), on peut obtenir un $DL$ de sa dérivée $f{'}$ en dérivant la partie polynomiale du $DL$ de $f$. Mais comment sait-on alors qu'elle est la forme du reste ?
Par exemple, admettons que je ne sache pas calculer un $DL$ de $\cos(x)$ mais que je sache que $\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)$ ; la partie polynômiale du $DL$ de $\cos(x)$ sera donc $(x-\frac{x^3}{6}){'}=1-\frac{x^2}{2}$. Par contre, comment savoir que le reste est $x^2\varepsilon(x)$ ?
Est-il légitime d'écrire : $(x^3\varepsilon(x)){'}=3x^2\varepsilon(x)+x^3(\varepsilon(x)){'}=x^2(3\varepsilon(x)+x(\varepsilon(x){'})=x^2\varepsilon(x))$
Est-ce en fait aussi simple que ça ?
J'ai une question qui me parait un peu bête, mais je n'arrive pas à me faire une idée précise de la réponse. Donc ...
Quand une fonction $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est $\ \mathcal{C}^n$, et qu'elle admet un développement limité ($DL$), on peut obtenir un $DL$ de sa dérivée $f{'}$ en dérivant la partie polynomiale du $DL$ de $f$. Mais comment sait-on alors qu'elle est la forme du reste ?
Par exemple, admettons que je ne sache pas calculer un $DL$ de $\cos(x)$ mais que je sache que $\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)$ ; la partie polynômiale du $DL$ de $\cos(x)$ sera donc $(x-\frac{x^3}{6}){'}=1-\frac{x^2}{2}$. Par contre, comment savoir que le reste est $x^2\varepsilon(x)$ ?
Est-il légitime d'écrire : $(x^3\varepsilon(x)){'}=3x^2\varepsilon(x)+x^3(\varepsilon(x)){'}=x^2(3\varepsilon(x)+x(\varepsilon(x){'})=x^2\varepsilon(x))$
Est-ce en fait aussi simple que ça ?
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Réponses
Prenons $f(x)=x-\frac{x^3}6+x^4\sin\frac1{x^7}$ (pour $x\ne0$, et $f(0)=0$).
Cette fonction $f$ admet un DL à l'ordre $3$ qui est le même que la fonction sinus. Pourtant, sa dérivée $f'$ n'a même pas de limite en $0$.
Par intégration on aura le développement limité de $f$ à l'ordre $n$ et, ce développement étant unique, tu retrouves les coefficients de celui de $f'$.
$$f(x)=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}x^1+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+x^n\varepsilon(x)$$
alors on peut former le DL de $f{'}$ en dérivant terme à terme... pour ce qui est de la partie polynomiale.
Par contre, ma question initiale portait sur le reste $x^n\varepsilon(x)$ ; j'ai pensé qu'il suffisait simplement de le dériver lui aussi, et qu'on obtenait ainsi une expression du reste pour le DL de $f{'}$, à savoir : $x^{n-1}\varepsilon(x)$. Mais est-ce bien licite ?
Poirot, est-ce que ça ne revient pas au même de partir du reste $x^n\varepsilon(x)$ du DL de $f$, et de faire :
$$(x^n\varepsilon(x))^{'}=nx^{n-1}\varepsilon(x)+x^n(\varepsilon(x))^{'}=x^{n-1} (n\varepsilon(x)+x(\varepsilon(x))^{'})=x^{n-1}\varepsilon(x)$$
puisque la parenthèse est une fonction qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ et qui peut donc s'écrire comme "un" $\varepsilon(x)$ ?
Avec l'évidence énoncée par Math Coss, bien sûr.
Bon, apparemment, c'est le jour où j'écris exclusivement n'importe quoi.
Soit $\varepsilon$ la fonction qui apparaît dans le DL en $0$ d'un fonction $f$ de classe $\mathscr{C}^n$. Sur quel ensemble $I$ est-elle définie (ou suffit-il qu'elle soit définie ?)
Est-elle dérivable sur cet ensemble (éventuellement privé de $0$) ? Peut-on considérer $\displaystyle\lim_{x\to 0} x\varepsilon'(x)$ et cette limite vaut-elle nécessairement $0$ ?
1) donc... elle est est dérivable
2) il me semble que la dérivée du reste est simplement : $n x^{n-1}\varepsilon(x) + x^n \varepsilon^{'}(x)$
Philippe:
1) quel ensemble ...? Ben, un voisinage de $0$
2) est-elle dérivable ? C'est la question que je pose...
3) Peut-on considérer... ? le simple fait que tu emploies l'expression $\varepsilon{'}(x)$ dans ton écriture semble répondre positivement à la question 2)...
J'avoue que quelque chose m'échappe dans ce que vos questions sont censées me faire comprendre. Ne le prenez pas mal, SVP. C'est que je ne sais pas comment actionner le déclic...
avec $P$ un polynôme, et $f$ dérivable, alors $\epsilon(x) = \frac{f(x)-P(x)}{x^n}$.
La fonction $\epsilon$ est donc bien dérivable, sauf éventuellement en $0$.
Par conséquent, il vient : $f'(x) = P'(x) + x^{n-1} \cdot
\big[
\underbrace
{%
n \epsilon(x) +
x \epsilon'(x)
}_{\tilde\epsilon(x)}
]
$.
Mais la question n'est pas là, si on souhaite parler de développement limité.
La question est la suivante.
Si on sait que $\epsilon(x) \to 0$, est-il vrai que $\tilde\epsilon(x) =
n \epsilon(x) +
x \epsilon'(x) \to 0$ ?
C'est à cette question qu'il est un peu moins évident de répondre.
(mais il se trouve que si $f$ est de classe $C^n$, alors la réponse est oui !)
En fait, en général, on ne peut pas dériver un développement limité.
Le contre-exemple classique est celui de $f : x \mapsto x^n \cdot \sin\big(\frac{1}{x^n}\big)$.
On a un développement limité à l'ordre $n-1$, mais la dérivée $f'$ (la calculer !) n'a pas de développement limité.
Noter que $f$ est dérivable sur $\R$, mais pas $C^1$.
C'est cette citation pour laquelle j'aimerais bien trouver de la documentation "démonstrative"...
- soit $f$ de classe $\mathcal{C}^n$ dont le $DL_n(0)$ a pour reste $R_n(f)=x^n\varepsilon(x)$.
- on trouve un $DL_{n-1}(0)$ de $f^{'}$ en dérivant terme à terme le $DL_n(0)$ de $f$.
- la dérivée de $R_n(f)$ est de la forme $x^{n-1}\tilde{\varepsilon}(x)$, la fonction $\varepsilon$ étant dérivable dans un voisinage de $0$ mais pas forcément en $0$.
- $f$ étant $\mathcal{C}^n$, on a bien $\tilde{\varepsilon}(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow 0$.
- donc $\tilde{\varepsilon}(x)$ peut être considéré comme un $\varepsilon(x)$ et $x^{n-1}\tilde{\varepsilon}(x)$ est bien le reste du $DL_{n-1}(0)$ de $f^{'}$.
Est-ce bien OK ?
PS : marsup disait - me semble-t-il - que si $f$ n'est pas $\mathcal{C}^n$, le fait que $\tilde{\varepsilon}(x)$ tende vers $0$ ou pas quand $x \rightarrow 0$ n'était pas évident... Je cherchais juste des précisions sur ce "pas évident". Mais peut-être que c'est déjà dans vos messages. Merci encore pour vos réponses.