Reste d'un DL dérivé

André49 · May 2019

Bonjour
J'ai une question qui me parait un peu bête, mais je n'arrive pas à me faire une idée précise de la réponse. Donc ...

Quand une fonction $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est $\ \mathcal{C}^n$, et qu'elle admet un développement limité ($DL$), on peut obtenir un $DL$ de sa dérivée $f{'}$ en dérivant la partie polynomiale du $DL$ de $f$. Mais comment sait-on alors qu'elle est la forme du reste ?

Par exemple, admettons que je ne sache pas calculer un $DL$ de $\cos(x)$ mais que je sache que $\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)$ ; la partie polynômiale du $DL$ de $\cos(x)$ sera donc $(x-\frac{x^3}{6}){'}=1-\frac{x^2}{2}$. Par contre, comment savoir que le reste est $x^2\varepsilon(x)$ ?

Est-il légitime d'écrire : $(x^3\varepsilon(x)){'}=3x^2\varepsilon(x)+x^3(\varepsilon(x)){'}=x^2(3\varepsilon(x)+x(\varepsilon(x){'})=x^2\varepsilon(x))$

Est-ce en fait aussi simple que ça ?

Math Coss · May 2019

Non. On ne peut pas dériver un DL en général. (On peut trouver le DL d'une fonction en dérivant celui de sa primitive si l'on sait que la fonction initiale en admet un mais l'opération est en réalité une intégration de DL.)

Prenons $f(x)=x-\frac{x^3}6+x^4\sin\frac1{x^7}$ (pour $x\ne0$, et $f(0)=0$).
Cette fonction $f$ admet un DL à l'ordre $3$ qui est le même que la fonction sinus. Pourtant, sa dérivée $f'$ n'a même pas de limite en $0$.

André49 · May 2019

Certes ! Mais n'est-ce pas parce que la fonction que tu prends en exemple n'est justement pas de classe $\mathcal{C}^n$ ?

rakam · May 2019

Si $f$ est de classe $C^n$ la dérivée $f'$ est $C^{n-1}$ et admet un développement limité d'ordre $n-1$.
Par intégration on aura le développement limité de $f$ à l'ordre $n$ et, ce développement étant unique, tu retrouves les coefficients de celui de $f'$.

André49 · May 2019

Rakam, je suis d'accord ; mais est-ce que ça ne veut pas dire que dans ce cas, si je dérive terme à terme le DL de $f$, j'obtiens le DL de $f{'}$ ?

side · May 2019

supp

Math Coss · May 2019

Avec l'hypothèse supplémentaire que $f$ est $\mathcal{C}^n$, que je n'avais pas lue, je suis d'accord avec André49. Formellement, tout se passe comme si on dérivait le DL de $f$ terme à terme. En réalité, la justification est celle que donne Rakam (et que j'ai esquissée dans la parenthèse) d'une intégration de DL.

André49 · May 2019

Math Coss, OK, ça confirme donc ce que j'avais compris : à savoir que quand $f$ est $\mathcal{C}^n$, et qu'on a écrit (au voisinage de $0$) :
$$f(x)=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}x^1+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+x^n\varepsilon(x)$$
alors on peut former le DL de $f{'}$ en dérivant terme à terme... pour ce qui est de la partie polynomiale.

Par contre, ma question initiale portait sur le reste $x^n\varepsilon(x)$ ; j'ai pensé qu'il suffisait simplement de le dériver lui aussi, et qu'on obtenait ainsi une expression du reste pour le DL de $f{'}$, à savoir : $x^{n-1}\varepsilon(x)$. Mais est-ce bien licite ?

Poirot · May 2019

Tu sais que $f'$ est $\mathcal C^{n-1}$, donc admet un DL en $0$ à l'ordre $n-1$ : $$f' = a_0 + a_1x + \dots a_{n-1}x^{n-1} + x^{n-1}\varepsilon(x)$$ avec bien sûr $\varepsilon(x)$ qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Tu peux intégrer tout ça entre $0$ et $x$ pour trouver $$f=f(0)+a_0x+a_1\frac{x^2}{2} + \dots + a_{n-1} \frac{x^n}{n} + \int_0^x t^{n-1} \varepsilon(t) \,dt.$$ Mais $$\int_0^x t^{n-1} \varepsilon(t) \,dt = x^n \int_0^1 u^{n-1} \varepsilon(xu) \,du$$ via le changement de variable $t=xu$. La fonction $\varepsilon$ étant continue (au vu du DL de $f'$) et tendant vers $0$ en $0$, on en déduit facilement que cette dernière intégrale tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Par unicité du DL en $0$ de $f$, on voit que pour trouver le DL de la dérivée, il n'y a qu'à dériver la partie polynomiale et baisser de $1$ la puissance apparaissant dans le reste.

Math Coss · May 2019

Une évidence : les fonctions $\varepsilon$ qui interviennent dans le reste de $f$ et le reste de $f'$ sont différents.

André49 · May 2019

Poirot a écrit:

et baisser de 1 la puissance apparaissant dans le reste

Poirot, est-ce que ça ne revient pas au même de partir du reste $x^n\varepsilon(x)$ du DL de $f$, et de faire :
$$(x^n\varepsilon(x))^{'}=nx^{n-1}\varepsilon(x)+x^n(\varepsilon(x))^{'}=x^{n-1} (n\varepsilon(x)+x(\varepsilon(x))^{'})=x^{n-1}\varepsilon(x)$$
puisque la parenthèse est une fonction qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ et qui peut donc s'écrire comme "un" $\varepsilon(x)$ ?

Avec l'évidence énoncée par Math Coss, bien sûr.

Math Coss · May 2019

Avec les hypothèses minimales du théorème de Taylor-Young, $f^{(n-1)}$ n'est dérivable qu'en $0$, de sorte que $\varepsilon$ n'est pas dérivable en $x\ne0$ a priori.

Bon, apparemment, c'est le jour où j'écris exclusivement n'importe quoi.

side · May 2019

supp

André49 · May 2019

Et finalement, concrètement, est-ce qu'on peut dériver ce fameux reste $(x^n\varepsilon(x))^{'}=...$, ou pas ? Il me semble pourtant avoir pas mal cherché, mais j'ai l'impression qu'on n'aborde jamais cette question...

side · May 2019

supp

Philippe Malot · May 2019

@André49:
Soit $\varepsilon$ la fonction qui apparaît dans le DL en $0$ d'un fonction $f$ de classe $\mathscr{C}^n$. Sur quel ensemble $I$ est-elle définie (ou suffit-il qu'elle soit définie ?)
Est-elle dérivable sur cet ensemble (éventuellement privé de $0$) ? Peut-on considérer $\displaystyle\lim_{x\to 0} x\varepsilon'(x)$ et cette limite vaut-elle nécessairement $0$ ?

André49 · May 2019

side :
1) donc... elle est est dérivable
2) il me semble que la dérivée du reste est simplement : $n x^{n-1}\varepsilon(x) + x^n \varepsilon^{'}(x)$

Philippe:
1) quel ensemble ...? Ben, un voisinage de $0$
2) est-elle dérivable ? C'est la question que je pose...
3) Peut-on considérer... ? le simple fait que tu emploies l'expression $\varepsilon{'}(x)$ dans ton écriture semble répondre positivement à la question 2)...

J'avoue que quelque chose m'échappe dans ce que vos questions sont censées me faire comprendre. Ne le prenez pas mal, SVP. C'est que je ne sais pas comment actionner le déclic...

marsup · May 2019

Si on a $f(x) = P(x) + x^n \cdot \epsilon(x)$,
avec $P$ un polynôme, et $f$ dérivable, alors $\epsilon(x) = \frac{f(x)-P(x)}{x^n}$.

La fonction $\epsilon$ est donc bien dérivable, sauf éventuellement en $0$.

Par conséquent, il vient : $f'(x) = P'(x) + x^{n-1} \cdot
\big[
\underbrace
{%
n \epsilon(x) +
x \epsilon'(x)
}_{\tilde\epsilon(x)}
]
$.

Mais la question n'est pas là, si on souhaite parler de développement limité.

La question est la suivante.

Si on sait que $\epsilon(x) \to 0$, est-il vrai que $\tilde\epsilon(x) =
n \epsilon(x) +
x \epsilon'(x) \to 0$ ?

C'est à cette question qu'il est un peu moins évident de répondre.
(mais il se trouve que si $f$ est de classe $C^n$, alors la réponse est oui !)

André49 · May 2019

Merci ! Les choses se clarifient. Reste à trouver un document / bouquin / site qui traiterait complètement de cette question "un peu moins évident(e)"...

marsup · May 2019

-- corrigé ci-dessus, j'avais oublié un $x$.

En fait, en général, on ne peut pas dériver un développement limité.

Le contre-exemple classique est celui de $f : x \mapsto x^n \cdot \sin\big(\frac{1}{x^n}\big)$.
On a un développement limité à l'ordre $n-1$, mais la dérivée $f'$ (la calculer !) n'a pas de développement limité.

Noter que $f$ est dérivable sur $\R$, mais pas $C^1$.

André49 · May 2019

C'est vrai, Marsup, cet exemple est bien connu. Mais, dans la discussion, et depuis le début, il a toujours été question de fonctions $\mathcal{C}^n$.

marsup a écrit:

C'est à cette question qu'il est un peu moins évident de répondre.
(mais il se trouve que si $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$, alors la réponse est oui !)

C'est cette citation pour laquelle j'aimerais bien trouver de la documentation "démonstrative"...

marsup · May 2019

D'autres intervenants t'ont déjà répondu. Si quelque chose ne te satisfait pas, il faudrait clairement dire quoi, parce que là, on piétine.

rakam a écrit:

Si $f$ est de classe $C^n$ la dérivée $f'$ est $C^{n-1}$ et admet un développement limité d'ordre $n-1$.
Par intégration on aura le développement limité de $f$ à l'ordre $n$ et, ce développement étant unique, tu retrouves les coefficients de celui de $f'$.

side a écrit:

La réponse générale est qu'on ne peut pas dériver un DL sans autre hypothèse sur $f$.

Math Coss a écrit:

Avec l'hypothèse supplémentaire que $f$ est $C^n$ [...] je suis d'accord [...] formellement, tout se passe comme si on dérivait le DL de $f$ terme à terme.

side a écrit:

déjà dit : regarder les formules de Taylor

side · May 2019

supp

André49 · May 2019

Merci ! Pour ne pas vous importuner outre-mesure, je vais résumer ce que j'ai compris:

- soit $f$ de classe $\mathcal{C}^n$ dont le $DL_n(0)$ a pour reste $R_n(f)=x^n\varepsilon(x)$.
- on trouve un $DL_{n-1}(0)$ de $f^{'}$ en dérivant terme à terme le $DL_n(0)$ de $f$.
- la dérivée de $R_n(f)$ est de la forme $x^{n-1}\tilde{\varepsilon}(x)$, la fonction $\varepsilon$ étant dérivable dans un voisinage de $0$ mais pas forcément en $0$.
- $f$ étant $\mathcal{C}^n$, on a bien $\tilde{\varepsilon}(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow 0$.
- donc $\tilde{\varepsilon}(x)$ peut être considéré comme un $\varepsilon(x)$ et $x^{n-1}\tilde{\varepsilon}(x)$ est bien le reste du $DL_{n-1}(0)$ de $f^{'}$.

Est-ce bien OK ?

PS : marsup disait - me semble-t-il - que si $f$ n'est pas $\mathcal{C}^n$, le fait que $\tilde{\varepsilon}(x)$ tende vers $0$ ou pas quand $x \rightarrow 0$ n'était pas évident... Je cherchais juste des précisions sur ce "pas évident". Mais peut-être que c'est déjà dans vos messages. Merci encore pour vos réponses.

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