Équivalent d'une fonction limite
Bonjour
Partant d'un exercice donné l'an dernier à l'oral de Centrale, j'ai voulu ajouter des questions, et chemin faisant, je n'ai pas trouvé la réponse à la dernière question que je me suis posée.
L'exercice n'a plus grand chose à voir avec l'exercice d'origine donc il est inutile que j'en donne une référence.
Premier arrêt : J'ai trouvé une façon de prouver la convergence de cette dernière suite... mais je suis preneur de toute méthode, puisque elle pourrait m'aider à trouver des réponses à ce qui suit.
Deuxième arrêt : J'aimerais déterminer un équivalent de $K(x)$ en $1^-$ et je pense que $\frac{1}{1-x}$ convient... mais je n'arrive pas à le prouver. J'ai seulement réussi à prouver que $\forall x\in I,~ K(x)\leq \frac{x^2}{1-x}$.
Vous avez des idées ?
Partant d'un exercice donné l'an dernier à l'oral de Centrale, j'ai voulu ajouter des questions, et chemin faisant, je n'ai pas trouvé la réponse à la dernière question que je me suis posée.
L'exercice n'a plus grand chose à voir avec l'exercice d'origine donc il est inutile que j'en donne une référence.
Pour tout $x\in I=\left[0,1\right[$, on définit $u_0(x)=x$ et pour tout $n\in\N$, \[u_{n+1}(x)=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n(u_k(x))^2.
\] 1) On montre tout d'abord que la suite $(u_n(x))_{n\in\N}$ converge vers 0 en décroissant.
2) Ensuite, on montre que $(n u_n (x))_{n\in\N}$ converge également et on note $K(x)$ sa limite.
Premier arrêt : J'ai trouvé une façon de prouver la convergence de cette dernière suite... mais je suis preneur de toute méthode, puisque elle pourrait m'aider à trouver des réponses à ce qui suit.
3) On montre que la suite de fonctions $(nu_n)_{n\in\N}$ converge uniformément sur tout segment inclus dans $I$.
4) On en déduit que la fonction $K:x\mapsto K(x)$ est continue sur $I$ (et on peut aussi prouver qu'elle est croissante, indépendamment).
Deuxième arrêt : J'aimerais déterminer un équivalent de $K(x)$ en $1^-$ et je pense que $\frac{1}{1-x}$ convient... mais je n'arrive pas à le prouver. J'ai seulement réussi à prouver que $\forall x\in I,~ K(x)\leq \frac{x^2}{1-x}$.
Vous avez des idées ?
Réponses
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supp
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Cher side, j'apprécie beaucoup tes interventions sur le forum, mais pourquoi ne pas te mettre au latex ? Si tu ne te prends pas la tête avec la mise en page c'est très facile de s'y mettre : deux petits dollars et des symboles usuels simples à manipuler !
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supp
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Et même sans LaTeX, mettre les indices en indice avec x2 et les puissances en exposant avec x² ne demande pas un effort surhumain.
Mais on apprend vite un minimum de LaTeX quand on veut communiquer efficacement (en cliquant sur le LaTeX des autres, ou lisant les messages en mode "Citer").
Cordialement -
Merci side pour ces idées. L'utilisation de la série $\sum_{n\geq 1} \left(\frac{1}{(n+1)u_{n+1}(x)}-\frac{1}{nu_n(x)}\right)$ est très bonne. Je vais regarder si on peut en tirer quelque chose.
Pour l'instant, j'ai utilisé la même piste que toi pour le deuxième arrêt. J'ai posé $\alpha=\frac{x}{1-x}$ et j'ai montré d'abord que $\forall n\in\N, u_n(x)\leq \frac{\alpha}{n+\alpha+1}$ puis que la suite $\left((n+\alpha)u_n(x)\right)_{n\in\N}$ décroît, ce qui permet de prouver la convergence de la suite $(nu_n(x))_{n\in\N}$ facilement et donne la majoration de $K(x)$ donnée plus haut. -
Je me demande si on ne peut pas voir une analogie avec l'équation différentielle $y' = (\frac{y}{t})^2 $ (sorte de version "continue" du problème) qui, elle, se résout explicitement. En gros, les solutions sont de la forme $y_{\lambda } = \frac{t}{1 + \lambda t}$, qui sont équivalentes à $t$ en $0$ et pour les solutions plus petites sur ${\mathbb R }_+ $ que $y_0 = Id$, on a $\lambda > 0$, $y''_{\lambda } (0) = - 2 \lambda $ et $\lim_{t \to \infty } y_{\lambda }(t) = \frac{1}{\lambda } = - \frac{2}{y''_{\lambda }(0)}$.
Cela renseigne-t-il sur le problème de l'équivalent de $K$ ? Je ne suis pas sûr mais j'en ai un peu l'idée. -
supp
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Frederic, ton idée retombe un peu sur la première de side. Dans l'équation différentielle que tu suggères, c'est finalement la fonction 1/y qui nous intéresse et qui vérifie $\left(\frac{1}{y}\right)'=\frac{1}{t^2}$.
En retransposant vers les suites, on retombe sur l'étude de la série $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{v_{n+1}(x)}-\frac{1}{v_n(x)}\right)$ où j'ai posé $v_n(x)=nu_n(x)$ pour tout $n\in\N$.
On a la relation $\forall n\geq 1, v_{n+1}(x)-v_n(x)=\left(\frac{v_n(x)}{n}\right)^2$ et $v_1(x)=x^2$.
On en déduit \[\frac{1}{x^2}-\frac{1}{v_n(x)}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{v_k(x)}-\frac{1}{v_{k+1}(x)}\right)=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2+v_k(x)}\]
On en déduit donc que \[\forall x\in ]0,1[, K(x)=\frac{1}{\frac{1}{x^2}-\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2+v_k(x)}}\]
Et on arrive même à en déduire que $K(x)\rightarrow +\infty$ lorsque $x\rightarrow 1^-$, si je ne m'abuse.
Mais toujours pas d'équivalent. -
supp
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@Bisam : Ta formule semble effectivement très jolie, mais permet-elle de trouver l'équivalent que tu souhaitais, $K(x) \sim _{1^- } \frac{1}{1-x}$ aussi facilement qu'en étudiant les solutions de l'équa diff ? Ce n'est pas très clair pour moi.
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K(x) tend vers $ \infty$ quand x tend vers 1 car c'est la somme de la série des $u_n(x)^2$ avec pour tout n $u_n(1)=1 $ et les $u_n$ sont des fonctions continues car ce sont des polynômes
pour tout N il existe $ \alpha$ strictement positif tel que si $x\geq 1-\alpha$ , $ \Sigma _0^N u_n(x)^2 \geq N$
d'où pour K(x) qui est la somme de cette série à termes positifs $K(x)\geq N$ -
Sauf erreur de calcul, en revenant à l'expression
$ \frac{1}{nu_n}-\frac{1}{(n+1)u_{n+1}}=\frac{u_n}{u_{n+1}} \frac{1}{n(n+1)} \geq \frac{1}{n(n+1)}$
car la suite $u_n$ est décroissante et positive ,en sommant on obtient
$\frac {1}{x^2}-\frac {1}{K(x)} \geq 1$
soit $K(x) \geq \frac {x^2}{1-x^2}$
ça ne donne toujours pas l'équivalent, mais on a avec l'inégalité dans l'autre sens déjà prouvée un encadrement ... -
supp
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Je suis curieux de voir la démonstration de ton encadrement (qui répond parfaitement à la question !).
Par contre, il va falloir passer au Latex, je pense (ou à une photo d'un papier bien rédigé, si tu as la flemme d'apprendre) les quelques mots clés nécessaires). -
supp
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Malheureusement, je vois une erreur de calcul dans la majoration de $\ln(S_n'(1))$. A la fin, une multiplication par 2 s'est transformée en addition.
En fait, on calcule que $S_n'(1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$. -
supp
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L'erreur de calcul est l'oubli du 2 devant l'intégrale dans la majoration
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supp
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supp
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Je donne juste une méthode permettant d'atteindre la minoration cherchée. Je présente mes excuses pour ne pas donner tous les calculs. C'est juste pour illustrer l'intérêt d'introduire l'équation différentielle et ses solutions.
Appelons, pour $\alpha > 0$, $\phi _{\alpha }$ la fonction telle que $\phi _{\alpha }(t) = \frac{t}{1 + \alpha t}$. Cette fonction tend vers $\frac{1}{\alpha }$ en $+\infty $ et si $v_n = \phi _{\alpha }(n)$, alors on a $v_k \geq \phi _{\alpha }(k)$ pour tout $k \geq n$. En prenant le $\alpha $ idoine, on trouve pour tout $n \geq 1$, $K(x) \geq \frac{n v_n }{n - v_n }$. Or, on montre (par récurrence, c'est assez simple) que $n - v_n \sim _1 n(n+1)(1-x)$, qui donne $\frac{n v_n }{n - v_n } \sim _1 \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{1-x}$. On a donc pour tout $\mu < 1$, $K(x) \geq \frac{\mu}{1-x}$ pour $x<1$ assez voisin de $1$.
Ce qui conclut. -
En revenant à l'expression
$ \frac{1}{nu_n(x)}-\frac{1}{(n+1)u_{n+1}(x)}=\frac{u_n(x)}{u
_{n+1}(x)} \frac{1}{n(n+1)} \geq \frac{1}{n(n+1)}$
en sommant on obtient
$\frac {1}{x^2}-\frac {1}{K(x)} =1+A(x)$
$\frac {1}{K(x)} = \frac {1-x^2} {x^2}-A(x)$
$\frac{1}{(1-x)K(x) }=\frac{1+x}{x^2}- \frac {A(x) }{1-x}$
prouver l'équivalent cherché revient donc à prouver que $A(x)\sim (1-x)$ quand x tend vers 1.
$A(x)= \Sigma_1^\infty \frac {u_n-u_{n+1}}{u_{n+1}} \frac {1}{n(n+1)}$
quand x tend vers 1 en utilisant les dérivées en 1 des $ u_n$ , le numérateur est équivalent à $1-x$ le dénominateur tend vers 1 .
cela laisse penser que l'on a l'équivalent cherché mais je n'ai pas réussi à majorer le terme restant en $ (1-x)^2 $ indépendamment de n -
Merci Frédéric !!
Voici comment reprendre ce que j'avais déjà écrit.
On avait vu plus haut que \[\forall k\geq 1, \frac{1}{v_k(x)}-\frac{1}{v_{k+1}(x)}=\frac{1}{k^2+v_k(x)}\] et j'avais bêtement sommé de 1 à $+\infty$.
Si on somme plutôt de $n$ à $+\infty$, on obtient \[\frac{1}{v_n(x)}-\frac{1}{K(x)}=\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2+v_k(x)}\geq \sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2+v_k(1)}=\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2+k}=\frac{1}{n}\] ce qui est la relation que tu donnes.
Ensuite, pour tout $n\geq 1$, $n-v_n(x)=v_n(1)-v_n(x) \underset{x\rightarrow 1}{\sim} v_n'(1) (1-x)$ puisque $v_n$ est polynomiale donc dérivable en $1$ et par la relation de récurrence vue plus haut, on a aussi $\forall n\geq 1, v_{n+1}'(1)=v_n'(1)+2u_n(1)u_n'(1)=v_n'(1)\times\left(1+\frac{2}{n}\right)$ d'où l'on tire immédiatement $\forall n\geq 1, v_n'(1)=n(n+1)$ (valable aussi pour $n=0$).
On en déduit que pour $n\geq 1$ fixé, \[\left(\frac{1}{v_n(x)}-\frac{1}{n}\right) \times \frac{1}{1-x}\underset{x\rightarrow 1}{\longrightarrow} 1+\frac{1}{n}\] et en particulier, si on fixe $\varepsilon >0$ et si l'on choisit un entier $n$ tel que $\frac{1}{n} <\frac{\varepsilon}{2}$ alors il existe un réel $\beta\in [0,1[$ tel que \[\forall x \in [\beta,1[, \left(\frac{1}{v_n(x)}-\frac{1}{n}\right) \times \frac{1}{1-x}\leq 1+\frac{1}{n}+\frac{\varepsilon}{2} \leq 1 + \varepsilon\]
On sait également que $\forall x\in ]0,1[, K(x) \leq \frac{x^2}{1-x}$ donc $\frac{1}{K(x)(1-x)}\geq \frac{1}{x^2}$ et en particulier il existe $\gamma\in]0,1[$ tel que $\forall x\in[\gamma,1[, \frac{1}{K(x)(1-x)}\geq 1-\varepsilon$.
Ainsi, on conclut que \[\forall x \in[\max(\beta,\gamma),1[, 1-\varepsilon \leq \frac{1}{K(x)(1-x)} \leq \left(\frac{1}{v_n(x)}-\frac{1}{n}\right) \times \frac{1}{1-x} \leq 1+\varepsilon\] et donc ENFIN \[K(x) \underset{x\rightarrow 1}{\sim} \frac{1}{1-x}\]
On doit pouvoir encore un peu simplifier, mais au moins, j'ai la trame nécessaire.
Merci à tous ceux qui ont contribué.
Et s'il y en a qui veulent poursuivre les investigations (la suite des fonctions $x\mapsto (1-x)v_n(x)$ converge-t-elle uniformément sur $[0,1]$ ? ou bien que peut-on dire de mieux sur la régularité de la fonction $K$ ?), n'hésitez pas à revenir ! -
supp
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La CVU sur tout segment de $[0,1[$ de la suite de fonctions $(v_n)_{n\in\N}$ et donc aussi de la suite de fonctions $w_n:x\mapsto (1-x)v_n(x)$, je l'ai déjà (par exemple, parce que la série de fonctions $\sum_{k\geq 0}u_k^2$ converge normalement sur tout segment de $[0,1[$).
Mais effectivement, side a raison, la limite simple de cette dernière vaut $0$ en $1$ mais vaut $(1-x)K(x)$ si $x\neq 1$ qui tend vers $1$ en $1$ comme on vient péniblement de le montrer. La limite simple n'étant pas continue tandis que les fonctions $w_n$ le sont, il ne peut pas y avoir convergence uniforme. -
supp
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