Boule

ccapucine
ccapucine
dans Analyse
Bonjour
je lis le paragraphe suivant.

$B_{\delta}$ est la boule $\{x \in \R^n \mid |x| < \delta\}$ tel que $\mathrm{mes\,} B_{\delta}= \dfrac{1}{w}$. Donc $\mathrm{mes\,} B_{\delta^n}= \dfrac{1}{w}$, où $\mathrm{mes\,}$ désigne la mesure de la boule.
Je ne comprends pas le donc $\mathrm{mes\,} B_{\delta^n}= \dfrac{1}{w}$.

Merci par avance pour l'aide.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    C’est le $n$ qui trouble.

    Qu’est-ce que $\delta$ ici ?

    Mieux : peux-tu poster un cliché de l’extrait (tout de même complet) ?
  • Poirot
    Poirot
    C'est vrai si $\delta=1$ ou $n=1$ :-D
  • ccapucine
    ccapucine
    $\delta$ est un nombre et d'après la déinition de $B_{\delta}$, $\delta$ est le rayon de $B_{\delta}$. Non?
  • Dom
    Dom
    J’ai pensé comme Poirot.

    Ou alors à une coquille, peut-être que le symbole $n$ est oublié dans la toute première notation.

    Je propose à nouveau un cliché du poly ou du bouquin.
  • ccapucine
    ccapucine
    C'est le prof qui l'a écrit au tableau, ce n'est pas dans un bouquin. Quelle est la correction la plus plausible pour que ça ait un sens?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ne serait-ce pas plutôt $B_\delta^n$ (boule de dimension $n$ de rayon $\delta$) ?
  • ccapucine
    ccapucine
    Super GaBuZoMeu! Merci!Autre question:
    1- Dans une celle de taille $\epsilon$ il y a une boule de rayon $\delta$ alors combien il y a de boule $B_{\delta}$ dans un carré $1 \times 1$?
    2- Si l'aire d'une boule dans une cellule $1 \times 1$ est $1/w$ alors quel est l'air total de tous les cercles dans le carré $1 \times 1$?

    Cordialement
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Désolé, mais je ne comprends pas tes questions. Peux-tu les formuler de manière plus précise, éventuellement en expliquant le contexte ?
  • ccapucine
    ccapucine
    Bonjour
    il y a quelque chose que je n'arrive pas à comprendre. Si on définit une boule $B_{\delta}$ par $\{x \in \R^n\mid |x| < \delta\}$ telle que la mesure de $B_{\delta}$ est égale à $\mathrm{mes\,} B_{\delta}=\dfrac{1}{w}$. Cette boule est déjà dans $\R^n$ alors que signifie $\mathrm{mes\,} B_{\delta}^n$ exactement? Et est-ce que c'est logique que sa mesure soit égale elle aussi à $\dfrac{1}{w}$ ?

    Bien cordialement.
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir Ccapucine.

    Tnat que tu ne donnes pas le contexte de ton paragraphe (scan ou photo des pages précédentes, sujet du bouquin ou du polycp, ou page web concernée, ...) on ne peut pas t'aider sérieusement. Des suppositions floues ne te serviront pas !!
  • ccapucine
    ccapucine
    J'ai déjà dit que cela ne vient ni d'un livre ni d'un polycope. De plus ma question est generale: si on a la mesure de $B_{\delta}= 1/w$ alors comment ça peut impliquer que la mesure de $B^n_{\delta}$ est elle aussi égale à $1/w$?
  • ccapucine
    ccapucine
    Je change de question. Quel est l'air de la boule unité en dimension $n$: $B= \{x \in \R^n: |x| < \delta\}$.
  • gerard0
    gerard0
    Si ce que tu écris sort de ta tête (y compris cours noté à la va-vite), difficile de savoir de quoi tu parles. Comme c'est un prof qui a écrit ça, le mieux est de lui demander.
    Pour ton $B_{\delta}= 1/w$, Poirot a déjà complétement répondu si n est un exposant. Si ce n'est pas un exposant, on ne peut pas deviner ce que ton prof a dans la tête ou ce qu'il a précisé oralement.
    Pour les boules, si la distance est bien la distance euclidienne, ce sont des intérieurs de sphères (segeme,t de dimension 1, disque en dimension 2), et tu peux trouver le volume d'une sphère en dimension n sur Wikipédia.

    Cordialement.
  • ccapucine
    ccapucine
    oui mais j'ai posé une autre question svp!
    en dimension $n=2$ on parle de l'aire d'un disque.
    en dimension $n=3$ on peut parler de l'aire d'un disque? Ou bien uniquement du volume?
    Est-ce qu'on peut généraliser la mesure d'un disque à une dimension $n$?

    Bien cordialement
  • gerard0
    gerard0
    En général, on parle de volume, ou de mesure euclidienne lorsqu'il risque d'y avoir des dimensions 1 ou 2. Et donc on généralise bien cette notion de mesure. On la généralise encore à bien d'autres choses (espaces discrets, parties "mesurables" de $\mathbb R^n$, espaces de fonctions, ...).
  • ccapucine
    ccapucine
    Merci Gerard. Si une boule $B_{\delta}$ est définie par $\{x \in \R^n: |x| < \delta\}$ c'est-à-dire une boule unité de rayon $\delta$ et on dit que sa mesure est $\alpha$, où $\alpha$ est un nombre réel.
    1. On peut désigner par mesure : l'aire, ou le volume selon la dimension $n$ de l'espace $\R^n$. C'est ça ?
    2. Je ne comprends pas ce que veut dire : boule de dimension $n$ (notée $B_{\delta}^n$). Il y a une boule de dimension $1$ et une boule de dimension $n$ ? Dans ce cas est-ce que les deux sont de même mesure ?
    Bien cordialement.
  • gerard0
    gerard0
    En général, si on est en euclidien, et sans autre précision, la mesure d'une boule est son volume (*).
    Hors contexte, difficile de savoir ce que désigne "boule de dimension n". Est-ce l'espace qui est de dimension n ? Je n'imagine pas ce que peut vouloir signifier "boule de dimension 1 de centre (0,0)" dans $\mathbb R^2".

    Vraiment, tu as besoin de retourner voir ton prof pour savoir de quoi il a parlé, vu que tu n'as pas réussi à saisir de quoi il s'agissait en cours.

    Cordialement.

    (*) longueur dans un espace de dimension 1, surface dans un espace de dimension 2.
  • skilveg
    skilveg
    @ccapucine,

    Il semble y avoir quelques difficultés de vocabulaire.

    Ici, la notation $B^n_r$ semble désigner une boule (au sens général) ouverte de dimension $n$ et de rayon $r$, qui peut s'identifier à $\{x\in\mathbb R^n : |x| < r\}$. Le $n$ est là pour indiquer la dimension de l'objet. Si $n=1$, on a un segment ouvert dans $\mathbb R$. Si $n=2$, on a un disque dans $\mathbb R^2$. Si $n=3$, on a une boule (au sens quotidien) dans $\mathbb R^3$.

    La notation $S_r^n$ peut désigner une sphère (au sens général) de dimension $n$ et de rayon $r$, qui peut s'identifier à $\{x\in\mathbb R^{n+1} : |x| = r\}$. Si $n=1$, on a un cercle dans $\mathbb R^2$. Si $n=2$, on a une sphère (au sens quotidien) dans $\mathbb R^3$.

    Une mesure fréquemment utilisée sur $\mathbb R^n$ est la mesure de Lebesgue. Un (hyper)cube de côté unité est de mesure unité. Si $n=1$, on obtient la longueur ; si $n=2$, la superficie, aire, ou surface ; si $n=3$, le volume.

    Là, tu sembles en train de calculer $\text{mes}_n (B^n_r)$, où $B^n_r$ est de dimension $n$ et vue comme un sous-ensemble de $\mathbb R^n$, lui-même muni de sa mesure (de Lebesgue) usuelle $\text{mes}_n$. Les $n$ ne sont là que pour bien préciser de quels objets on parle, dans quels ensembles.
  • ccapucine
    ccapucine
    Bonjour
    j’ai une question qui me pose vraiment problème, j’espère avoir de l’aide s’il vous plaît.

    Si on considère la fonction $v q(x/\epsilon)= 1$ si $x/\epsilon \in B_\delta +Z^n$ et $0$ sinon,
    où $B_{\delta}=\{x \in \R^n: |x| < \delta\}$.
    1- Quelle est la période de $q(x/\epsilon)$ ? Est-ce que c’est bien $\epsilon$ ?
    2- Quel est le support de $q$ et quel est son diamètre ?
    3- Dans un carré $1 \times 1$ est-ce qu’on peut savoir le nombre de supports de $q$ qu’on peut y mettre en sachant que le diamètre de chaque support doit être inférieur à $\epsilon$ ?
    Je vous remercie par avance pour toute aide.
    Bien cordialement.

    [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
  • Poirot
    Poirot
    Il faudrait préciser la définition de période d'une fonction de plusieurs variables. Et pourquoi noter ta fonction $q(x/\varepsilon)$ ? C'est une fonction de $x$ avec $\varepsilon$ fixé ou de $x/\varepsilon$ ? Dans ce dernier cas, il n'y aucune raison d'introduire ce $\varepsilon$.
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