Crochet japonais

Bonjour,

A la physicienne sans se poser de question : on développe la racine en série entière et roule ma poule.

Qu'est-ce que tu appelles "calculer" ? Si $a$ est le symbole principal de de $A$ alors le symbole principal de $\langle A\rangle $ est simplement $\sqrt{1+a\overline a }$, ça permet déjà de faire pas mal d’estimations.

@naima
Si O_2 est la matrice nulle de M_2, que vaut <O_2>?
Ne vois-tu pas un problème d'unicité? Peux- tu m’exhiber une infinité des racines carrées de la matrice identité de M_2

Tu compares une matrice et un nombre réel !!!

Bon il va peut-être falloir revoir les bases avant de s'attaquer aux opérateurs pseudo-différentiels 8-)

Si $A$ est une matrice à coefficients complexes alors $\mathrm{Id} + AA^*$ est une matrice hermitienne définie positive. En tant que telle il existe une unique matrice $B$ elle aussi hermitienne et définie positive telle que $B^2=\mathrm{Id} + AA^*$. On note alors $B= \sqrt{\mathrm{Id} + AA^*}=\langle A \rangle$. Donc oui, le crochet japonais d'une matrice est une matrice et celui d'un opérateur pseudo-diff est un opérateur pseudo-diff.

Petit rappel pour les racines de matrices : Soit $M$ hermitienne définie positive, on a alors $M=P^*DP$ avec $PP^*=\mathrm{Id}$, $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots \lambda _n)$ est diagonale et tous ses coefficients diagonaux sont strictement positifs. On pose alors $\sqrt M = P^*\sqrt D P$ où $\sqrt D = \mathrm{diag}(\sqrt \lambda_1, \ldots \sqrt \lambda_n)$. On a bien $\sqrt M ^2 =M$ et $\sqrt{M}$ est bien hermitienne définie positive. Cette racine carrée est d'ailleurs la seule qui soit aussi hermitienne positive.