Inégalité, fonction holomorphe

Bonjour, si quelqu'un pouvait m'aider pour cette question.

Soit $f$ une fonction holomorphe sur $D(0,1)$. On suppose que $f(0)=1$ et que $\forall z \in D(0,1), \ Re(f(z)) \geq 0$.

En considérant, la fonction $k(z) = e^{-f(z)}$, montrer que $\forall z \in D(0,1), \ Re(f(z)) > 0 $.

J'ai pensé à procéder par l’absurde en supposant l'existence d'un $z_0$ tq $Re(f(z_0)) = 0$, puis en évaluant $k$ en $z_0$, mais je n'aboutis pas à une contradiction. J'ai essayé d'utiliser les outils des fonctions analytiques (principe du maximum, prolongement analytique), mais cela ne s'est pas révélé très concluant.