Construction d'une solution maximale EDO
dans Analyse
Bonjour a tous, voici mon problème.
On se place dans les conditions de CL dont vous trouverez une capture d'écran dans mon message.
Mon professeur nous a expliqué qu'on pouvait construire "itérativement" une solution maximale unique de cette EDO grâce à ce théorème. L'idée est la suivante, on part de $t_0$ puis on construit grâce au théorème un solution unique sur $[t_0-\delta, t_0+\delta]$ puis en utilisant le théorème sur le point $t_0 + \delta$ on agrandit la solution etc... Deux cas sont alors censés se présenter: On a couvert $I$ intégralement -> super. Ou on a construit un intervalle $J$ ouvert qui correspond a l'union de tous nos intervalles fermés. Quitte a prolonger notre solution par continuité sur $J$ si le prolongement est dans $E$ on peut répéter l'opérations et obtenir une solution unique mais surtout maximale.
Néanmoins j'ai plusieurs soucis avec cette méthode : tout d'abord je ne comprends pas pourquoi le nombre d'opérations a effectuer est nécessairement dénombrable. Enfin je ne suis pas sur de comprendre pourquoi la solution est maximale.
Merci d'avance.
On se place dans les conditions de CL dont vous trouverez une capture d'écran dans mon message.
Mon professeur nous a expliqué qu'on pouvait construire "itérativement" une solution maximale unique de cette EDO grâce à ce théorème. L'idée est la suivante, on part de $t_0$ puis on construit grâce au théorème un solution unique sur $[t_0-\delta, t_0+\delta]$ puis en utilisant le théorème sur le point $t_0 + \delta$ on agrandit la solution etc... Deux cas sont alors censés se présenter: On a couvert $I$ intégralement -> super. Ou on a construit un intervalle $J$ ouvert qui correspond a l'union de tous nos intervalles fermés. Quitte a prolonger notre solution par continuité sur $J$ si le prolongement est dans $E$ on peut répéter l'opérations et obtenir une solution unique mais surtout maximale.
Néanmoins j'ai plusieurs soucis avec cette méthode : tout d'abord je ne comprends pas pourquoi le nombre d'opérations a effectuer est nécessairement dénombrable. Enfin je ne suis pas sur de comprendre pourquoi la solution est maximale.
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Réponses
Un argument (important) de connexité utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz dans sa version locale permet de montrer que si un intervalle est le domaine de définition d'une solution du problème de Cauchy, alors cette fonction est nécessairement unique.
$I_m$ est un intervalle comme union d'intervalles ayant le point $t_0$ en commun, et en plus il est ouvert (par définition de $I_m$).
Maintenant on définit $u_m$ sur $I_m$ par $u_m(t) = u_J(t)$ où $J$ est un intervalle sur lequel est définie une solution du problème de Cauchy, contenant le point $t$. Cette fonction $u_m$ est bien définie d'après le deuxième paragraphe, et on peut vérifier qu'elle est solution du problème de Cauchy, puis qu'elle est maximale.
Edit : D'une manière générale, en mathématiques, quand on a envie de faire 'se propager' une propriété (de manière uniforme), il faut souvent faire appel à un argument de connexité.
Merci d'avance !