Vitesse d'explosion d'une dérivée

Bonjour
J'ai un problème qui fait appel à des notions de calcul différentiel basique mais que je n'arrive pas à résoudre. Le voici.

Je fixe $C \subset \mathbb{C}$ comme étant (l'intérieur d') un carré, que l'on peux voir comme l'intersection deux secteur angulaires (ouverts) d'angle $\pi/2$ en choisissant les secteurs définis par deux côtés opposés du carré. Vous pouvez regarder la figure en pièce jointe.
On note $\Omega_1$ et $\Omega_2$ les secteurs angulaires (ouverts) et on a donc $C = \Omega_1 \cap \Omega_2$. On note aussi $z_1$ et $z_2$ les deux points d'intersection des deux bords des secteurs angulaires.
Soit $\chi_1, \chi_2$ une partition $C^\infty$ de l'unité subordonnée au recouvrement ouvert $\Omega := \Omega_1 \cup \Omega_2$, c'est-à-dire $${\chi}_i \in C^{\infty}(\Omega_i), \quad \mathrm{supp}\, \chi_i \subset \Omega_i, \quad \chi_1 + \chi_2 = 1\ \text{ sur } \ \Omega.

$$ Maintenant, $\chi_1$ vaut 1 sur le bord rouge du carré (privé de $z_1$ et $z_2$) et 0 sur le bord bleu (privé de $z_1$ et $z_2$).
Ma question est : quel est le comportement des dérivées partielles de $\chi_1$ lorsque $(x,y) \to z_1$ (ou $(x,y) \to z_2$) ?
On peut montrer facilement (en utilisant par exemple l'égalité des accroissements finis sur des segments horizontaux reliant les deux côtés) que $$\limsup_{(x,y) \to z_1} \Big\lvert \frac{\partial \chi_1}{\partial x}(x,y)\Big\rvert = +\infty, $$ mais j'aimerais savoir si cela reste $L^2$ sur $C$. Je sais bien que la réponse dépend de la partition de l'unité choisie, donc je reformule : existe-t-il une partition de l'unité telle que les dérivées partielles soient $L^2$ sur $C$ ? Si non, quel est le meilleur comportement possible (lorsque $(x,y) \to z_1$) des dérivées partielles ?

[Contenu du pdf joint. AD]