Exponentielle
dans Analyse
Bonjour
Est-ce que vous connaissez la solution de l’équation différentielle suivante. $$f’’=f
$$ Merci d’avance.
Est-ce que vous connaissez la solution de l’équation différentielle suivante. $$f’’=f
$$ Merci d’avance.
Réponses
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Toutes les fonctions de la forme $t \mapsto \lambda_1 e^t + \lambda_2 e^{-t}$. On apprend ça en première année de licence.
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Il y a en gros deux méthodes : supposer que $f$ ne croît pas trop vite et utiliser la transformée de Fourier (on peut aussi remplacer $f$ par $f 1_{|t| < a}$ ou encore utiliser la transformée de Laplace sur $f 1_{t > 0}$)
Ou bien trouver deux solutions indépendantes $e^{at}, e^{bt}$ et montrer qu'étant donné $f(0),f'(0)$ il n'y a qu'une seule solution. Si le polynôme est non-séparable ($f''-2 f'+ f = 0$) il faut ajouter les $t^n e^{at}$
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Bonjour!
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