Somme d'une série entière.

En effet, après vérification il semble qu'il y ait une erreur dans l'énoncé. Il s'agit en réalité seulement de déterminer le rayon de cv.

Je suis désolé pour ceux qui y auraient passé du temps.

Nous sommes d'accord que le rayon de cv R est au moins égal à 1. A-t-on $R = 1$ ?.

Si on suppose que la suite $n \mapsto a_n = \cos\left (2\pi \sqrt{1+\ln(n^2)} \right) $ ne tend pas vers 0, alors la série diverge (grossièrement) en $z= 1$ et on a $R = 1$.

Si on suppose que $a_n \to 0$, en notant $b_n = \sin \left (2\pi \sqrt{1+\ln(n^2)} \right) $ on a que $ b_n^2 \to 1$ et la série $\sum b_n^2 z^n$ a un rayon égal à 1.

Puisque $a_n^2 + b_n^2 = 1$, la série $\sum (a_n^2 + b_n^2) z^n$ a aussi un rayon de 1 et par différence que $\sum a_n^2 z^n$ a un rayon égal à 1.

Enfin, comme pour tout entier n, $|a_n|^2 \le |a_n|$, le rayon de $|a_n| z^n $ est plus petit que 1, donc égal à 1 (nous savons qu'il est aussi plus grand que 1).

Finalement, les séries $\sum a_n z^n$ et $\sum |a_n| z^n $ ayant le même rayon de cv, on obtient bien que $R = 1$.

En espérant que c'est correct.

Vous avez raison, ça ne marche pas !

Deuxième tentative, je crois qu'on n'échappe pas à montrer que la suite $(a_n)$ ne tend pas vers 0 (où $a_n = \cos\left (\pi \sqrt{1+\ln(n^2)} \right)$). Par l'absurde :

Si $a_n \to 0$, alors $\pi \sqrt{1+\ln(n^2)}$ tend vers $ \frac{\pi}{2} $ modulo $\pi$. Ce qui signifie qu'il existe une suite d'entiers $(k_n)$ telle que $\sqrt{1+\ln(n^2)} = k_n + \frac{1}{2} + \delta_n$ avec $\delta_n \to 0$.

La suite d'entiers $(k_n)$ doit tendre vers l'infini puisque $\sqrt{1+\ln(n^2)} \to +\infty$.
Ainsi pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe un entier $n > N$ tel que $k_{n+1} - k_n \ge 1$. Si de plus N est assez grand pour que $|\delta_n| < \frac{1}{2}$, on a alors $\sqrt{1+\ln((n+1)^2)} - \sqrt{1+\ln(n^2)} > \frac{1}{2}$. Ce qui est absurde puisque $\sqrt{1+\ln((n+1)^2)} - \sqrt{1+\ln(n^2)}$ équivaut lorsque $n \to +\infty$ à $\frac{2 \ln( 1 + \frac{1}{n} ) } { 2 \sqrt{1+\ln(n^2)}} \to 0$