Somme d'une série

gauss · May 2019

Bonjour
Sans passer par les séries entières, y a-t-il un moyen élémentaire de calculer la somme de la série de terme général un = (-1)^n/(n(n-1)) pour n allant de 2 à plus infini ?

Car c'est un exo de bac +1, pris sur un site de MPSI.
Par avance merci pour toute idée.
Bonne journée.
gauss

gerard0 · May 2019

Bonjour.

Euh ...J'ai fait une erreur de signe. Pas d'idée.

Cordialement.

bisam · May 2019

On écrit $\frac{1}{n(n-1)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}$ puis on casse la somme partielle en deux et décale l'indice de l'une des deux.
On est alors ramené à la série harmonique alternée classique.

jean lismonde · May 2019

bonjour

tu décomposes ta série en deux séries harmoniques
(notre ami bisam a commis une petite erreur dans sa décomposition)

$\Sigma_2^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{n(n-1)}=\Sigma_2^{\infty}\frac{(-1)^n}{n-1} - \Sigma_2^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$

ta première série harmonique alternée s'écrit 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +........soit ln2

la seconde série harmonique alternée s'écrit : - [1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 +.......] soit - [1 - ln2]

soit au final ta série alternée converge vers 2ln2 - 1 = 0,38....

cordialement

Somme d'une série

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