Bonjour,
Je cherche une preuve complète et détaillée (elle n’est qu’esquissée dans le Brezis) que si $ u \in H^1([0,1])$ et $u(0)=u(1)=0$ alors $u \in H^1_0$.
Je n’en trouve pas sur internet ou dans les livres.
Merci beaucoup
Oui j’aurais pu mettre ma définition !
Pour moi $H^1_0$ est l’adhérence des fonctions indéfiniment dérivables à support compact dans ]0;1[ dans $H^1$.
Je sais montrer que les éléments de $H^1_0$ sont nuls au bord mais pas la réciproque.
Liedberg : c'est parce que tu ne regardes pas au bon endroit. Dans le chapitre suivant (espace de Sobolev en dimension $n$) le résultat y est démontré à l'endroit que Tryss a indiqué.
Alors $u_n = \frac{1}{n} G(nu)$ appartient à $W^{1,p}$ (proposition IX.5). On vérifie aisément (à l'aide du théorème de convergence dominé) que $u_n \to u$ dans $W^{1,p}$. D'autre part
Si $f \in H^1([-1,1])$ alors $f,f' \in L^2([-1,1])$ donc $f'\in L^1([-1,1])$ donc $f(x) = C+\int_{-1}^x f'(y)dy$ est continue et $C = f(-1)$.
Soit $\phi \in C^\infty_c, \int \phi = 1, supp(\phi) \subset [-1,1], \phi_n(x) = n \phi(nx)$.
Si $ f(-1)=f(1)=0$ on la considère nulle en dehors de $[-1,1]$ on pose $f_n = f(\frac{n}{n-1} x) \ast \phi_{n+1}$. Alors $f_n \in C^\infty_c(]-1,1[)$ et $\|f-f_n\|_{H^1} \to 0$ donc $f \in H^1_0([-1,1])$
Merci à tous de vos réponses.
Corto: je préférerais une preuve juste en dimension 1 mais si je ne trouve pas je regarderai la dimension n
Tryss: oui je connais cette preuve mais telle quelle elle n’est pas complète, il faut montrer des choses sur la dérivation faible d’une composée de deux fonctions, résultat qui utilise la densite d’un certain espace de fonctions dans $H^1$... je prépare l’agrégation et je j’ai plus tellement le temps d’apprendre de nouveaux théorèmes..
Reuns : j’ai quelques questions:- où utilises-tu le lemme que tu montres au début sur le représentant continu?
- tu convoles par $\Phi_{n+1}$ et pas $\Phi_{n}$ pour que le support soit bien inclus dans $]-1,1[$ c’est bien ça ?
-pour montrer qu’il y a convergence dans $H^1$ tu utilises que la dérivée faible du produit de convolution est le produit de convolution de la dérivée faible c’est bien ça? Puis la preuve est la même pour $f$ ou pour $f’$ c’est bien ça ? (Inégalité de Young puis convergence dominée + les résultats classique d’approximations de l’unité)
-aurais-tu une référence s’il te plaît ?
Que $f$ soit continue permet que $f(-1),f(1)$ soit bien défini, donc $\|f-f_n\|_\infty\to0$ et $\|f-f_n\|_{L^2}\to0$, le problème c'est de montrer que $\|f'-f_n'\|_{L^2}\to0$, il faut alors montrer que les fonctions continues (ou continues par morceau) sont denses dans $L^2$, ce qui se fait en revenant à la définition de l'intégrale de Lebesgue et en utilisant que les indicatrices d’union d'intervalles sont $L^2$-denses dans les fonctions indicatrices
Je vais écrire ce que j’ai compris de ta démonstration reuns, comme ça ce sera plus facile de m’aider (si tu le veux bien) sur ce que je ne comprends pas.
$H^1$ désigne $H^1(]-1;1[)$, de même pour $H^1_0$.
Soit $f \in H^1$ qu’on considère continue (on sait que c’est possible) et vérifiant $f(1)=f(-1)=0$. On étend $f$ à $R$ entier avec $f=0$ en dehors de $]-1;1[$. Pour $n \in N$, on pose $f_n(x)=f(\frac{n}{n-1} x)$ pour $x \in ]-1;1[$. On définit de même $f’_n$.
Soit $\Phi_n$ une suite d’approximation de l’unité vérifiant $Supp(\Phi_n)=[-\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}]$.\\
$f_n*\Phi_n$ ($*$ désigne le produit de convolution) est bien définie et de plus $Supp(f_n*\Phi_n)$ est inclus dans $]-1;1[$.\\
On montre immédiatement que $f_n \in H^1$ avec $(f_n)’=\frac{n}{n-1}f’_n$. On sait alors que $f_n*\Phi_n \in H^1$, de dérivée faible égale à $\frac{n}{n-1}f’_n*\Phi_n$.\\
De plus, $||f_n*\Phi_n - f||_2 \leq ||(f_n-f)*(\Phi_n)||_2 + ||\Phi_n*f-f||_2$\\
Puisque les supports de tous les $(f_n-f)*(\Phi_n)$ sont inclus dans un même compact, il existe $C$ telle que $ ||(f_n-f)*(\Phi_n)||_2 \leq C||(f_n-f)*(\Phi_n)||_{infinie}$pour tout $n$ dans $N$. \\
Or $||(f_n-f)*(\Phi_n)||_{infinie} \leq ||f_n-f||_{infinie} ||\Phi_n||_1=||f_n-f||_{infinie}$ et ce dernier terme tend vers 0 car $f$ est uniformément continue sur $[-2;2]$ par exemple (c’est là qu’on se sert de la nullité au bord!).\\
De plus, $||\Phi_n*f-f||_2$ tend également vers 0 car $f$ est de carré intégrable et la suite des $\Phi_n$ est une approximation de l’unité.\\
Ici je voudrais faire le même raisonnement pour $\frac{n}{n-1}f’_n*\Phi_n$ et $f’$ mais le problème est que $f’$ n’est pas a priori continue!\\
Je suis bloqué
Que $\|f_n'-f'\|_2 \to 0$ c'est la même difficulté que de montrer que $\|g-g(.+1/n)\|_2 \to 0$. C'est une conséquence du fait que les fonctions continues sont denses dans $L^2$ (si $g$ est continue alors c'est évident que $\|g-g(.+1/n)\|_2 \to 0$, et c'est tout aussi évident quand on sait approximer $g$ (dans $L^2$) par des fonctions continues).
Pour montrer cette densité des fonctions continues dans $L^2$, on peut juste montrer la densité des fonctions continues par morceau dans les fonctions simples (les $\sum_{j=1}^J c_j 1_{x \in A_j}$, qui sont denses dans $L^2$ parce c'est elles qu'on utilise pour définir l'intégrale de Lebesgue).
Tout se réduit donc à montrer que pour un ensemble bizarre $A$ on peut approximer $1_{x \in A}$ par des $\sum_{j=1}^J 1_{x \in ]u_j,v_j[}$. Et ça c'est dans la définition de la mesure de Lebesgue : $\mu(A) = \inf \{ \sum_{j=1}^J \mu( ]u_j,v_j[), \sum_{j=1}^J1_{x \in ]u_j,v_j[} \ge 1_{x \in A}\}$, définition qui dit vraiment que pour une fonction bornée $f\ge 0$, il existe une suite décroissante de fonctions continues par morceau qui converge vers $f$ dans $L^1$, c'est à dire exactement ce qu'on veut.
Merci beaucoup de prendre le temps de me répondre reuns.
Je suis désolé mais je vais encore poser une question.
Si $f_n$ définie par $f_n(x)=f(\frac{n}{n-1}x)$ converge dans $L^2$ vers $f$ du moment que $f$ est $L^2$, je ne vois pas où la nullité de $f$ au bord sert dans la démonstration.
Réponses
Pour moi $H^1_0$ est l’adhérence des fonctions indéfiniment dérivables à support compact dans ]0;1[ dans $H^1$.
Je sais montrer que les éléments de $H^1_0$ sont nuls au bord mais pas la réciproque.
Je te transcrit la démo de mon édition (en ne gardant que ce qui est utile pour $\mathrm{Supp}\ u$ borné):
On fixe une fonction $G \in C^1(\mathbb{R})$ telle que
\[ |G(t)|\leq |t| \ \ \forall t\in \mathbb{R} \text{ et } G(t) = \left\{ \begin{array}. 0 & \text{si} & |t|\leq 1 \\ t & \text{si} & |t|\geq 2 & \end{array} \right. \]
Alors $u_n = \frac{1}{n} G(nu)$ appartient à $W^{1,p}$ (proposition IX.5). On vérifie aisément (à l'aide du théorème de convergence dominé) que $u_n \to u$ dans $W^{1,p}$. D'autre part
\[ \mathrm{Supp}\ u_n \subset \left\{ x\in \Omega ; |u(x)| \geq \frac{1}{n} \right\} \]
et donc $\mathrm{Supp}\ u_n$es un compact contenu dans $\Omega$. D'après le Lemme IX.5, $u_n \in W^{1,p}_0$ et par suite $u \in W^{1,p}_0$.
Soit $\phi \in C^\infty_c, \int \phi = 1, supp(\phi) \subset [-1,1], \phi_n(x) = n \phi(nx)$.
Si $ f(-1)=f(1)=0$ on la considère nulle en dehors de $[-1,1]$ on pose $f_n = f(\frac{n}{n-1} x) \ast \phi_{n+1}$. Alors $f_n \in C^\infty_c(]-1,1[)$ et $\|f-f_n\|_{H^1} \to 0$ donc $f \in H^1_0([-1,1])$
Corto: je préférerais une preuve juste en dimension 1 mais si je ne trouve pas je regarderai la dimension n
Tryss: oui je connais cette preuve mais telle quelle elle n’est pas complète, il faut montrer des choses sur la dérivation faible d’une composée de deux fonctions, résultat qui utilise la densite d’un certain espace de fonctions dans $H^1$... je prépare l’agrégation et je j’ai plus tellement le temps d’apprendre de nouveaux théorèmes..
Reuns : j’ai quelques questions:- où utilises-tu le lemme que tu montres au début sur le représentant continu?
- tu convoles par $\Phi_{n+1}$ et pas $\Phi_{n}$ pour que le support soit bien inclus dans $]-1,1[$ c’est bien ça ?
-pour montrer qu’il y a convergence dans $H^1$ tu utilises que la dérivée faible du produit de convolution est le produit de convolution de la dérivée faible c’est bien ça? Puis la preuve est la même pour $f$ ou pour $f’$ c’est bien ça ? (Inégalité de Young puis convergence dominée + les résultats classique d’approximations de l’unité)
-aurais-tu une référence s’il te plaît ?
Merci encore
$H^1$ désigne $H^1(]-1;1[)$, de même pour $H^1_0$.
Soit $f \in H^1$ qu’on considère continue (on sait que c’est possible) et vérifiant $f(1)=f(-1)=0$. On étend $f$ à $R$ entier avec $f=0$ en dehors de $]-1;1[$. Pour $n \in N$, on pose $f_n(x)=f(\frac{n}{n-1} x)$ pour $x \in ]-1;1[$. On définit de même $f’_n$.
Soit $\Phi_n$ une suite d’approximation de l’unité vérifiant $Supp(\Phi_n)=[-\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}]$.\\
$f_n*\Phi_n$ ($*$ désigne le produit de convolution) est bien définie et de plus $Supp(f_n*\Phi_n)$ est inclus dans $]-1;1[$.\\
On montre immédiatement que $f_n \in H^1$ avec $(f_n)’=\frac{n}{n-1}f’_n$. On sait alors que $f_n*\Phi_n \in H^1$, de dérivée faible égale à $\frac{n}{n-1}f’_n*\Phi_n$.\\
De plus, $||f_n*\Phi_n - f||_2 \leq ||(f_n-f)*(\Phi_n)||_2 + ||\Phi_n*f-f||_2$\\
Puisque les supports de tous les $(f_n-f)*(\Phi_n)$ sont inclus dans un même compact, il existe $C$ telle que $ ||(f_n-f)*(\Phi_n)||_2 \leq C||(f_n-f)*(\Phi_n)||_{infinie}$pour tout $n$ dans $N$. \\
Or $||(f_n-f)*(\Phi_n)||_{infinie} \leq ||f_n-f||_{infinie} ||\Phi_n||_1=||f_n-f||_{infinie}$ et ce dernier terme tend vers 0 car $f$ est uniformément continue sur $[-2;2]$ par exemple (c’est là qu’on se sert de la nullité au bord!).\\
De plus, $||\Phi_n*f-f||_2$ tend également vers 0 car $f$ est de carré intégrable et la suite des $\Phi_n$ est une approximation de l’unité.\\
Ici je voudrais faire le même raisonnement pour $\frac{n}{n-1}f’_n*\Phi_n$ et $f’$ mais le problème est que $f’$ n’est pas a priori continue!\\
Je suis bloqué
Pour montrer cette densité des fonctions continues dans $L^2$, on peut juste montrer la densité des fonctions continues par morceau dans les fonctions simples (les $\sum_{j=1}^J c_j 1_{x \in A_j}$, qui sont denses dans $L^2$ parce c'est elles qu'on utilise pour définir l'intégrale de Lebesgue).
Tout se réduit donc à montrer que pour un ensemble bizarre $A$ on peut approximer $1_{x \in A}$ par des $\sum_{j=1}^J 1_{x \in ]u_j,v_j[}$. Et ça c'est dans la définition de la mesure de Lebesgue : $\mu(A) = \inf \{ \sum_{j=1}^J \mu( ]u_j,v_j[), \sum_{j=1}^J1_{x \in ]u_j,v_j[} \ge 1_{x \in A}\}$, définition qui dit vraiment que pour une fonction bornée $f\ge 0$, il existe une suite décroissante de fonctions continues par morceau qui converge vers $f$ dans $L^1$, c'est à dire exactement ce qu'on veut.
Je suis désolé mais je vais encore poser une question.
Si $f_n$ définie par $f_n(x)=f(\frac{n}{n-1}x)$ converge dans $L^2$ vers $f$ du moment que $f$ est $L^2$, je ne vois pas où la nullité de $f$ au bord sert dans la démonstration.