Fonction indicatrice ou caractéristique ?
Bonjour
Soit $(\Omega, A, P)$ un espace probabilisé.
Soit $F(t)=(1-\frac{e^{-2t}}{2})_{\chi_{t\geq0}}$ où $\chi_{t\geq0}$ est la fonction caractéristique de l'intervalle $[0,+ \infty [$.
Comme il s'agit d'un exercice de probabilité je ne suis pas sûr de bien comprendre ce qu'est $\chi_{t\geq0}$.
S'agit-il une fonction indicatrice ou d'une fonction caractéristique dans le cadre des probabilités ?
Soit $(\Omega, A, P)$ un espace probabilisé.
Soit $F(t)=(1-\frac{e^{-2t}}{2})_{\chi_{t\geq0}}$ où $\chi_{t\geq0}$ est la fonction caractéristique de l'intervalle $[0,+ \infty [$.
Comme il s'agit d'un exercice de probabilité je ne suis pas sûr de bien comprendre ce qu'est $\chi_{t\geq0}$.
S'agit-il une fonction indicatrice ou d'une fonction caractéristique dans le cadre des probabilités ?
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Réponses
donc c'est bien une fonction indicatrice, rien à voir avec une fonction caractéristique.
J'avais un doute car dans une question suivante on me demande de calculer la fonction caractéristique de la variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité$P_X$ admet $F$ pour fonction de répartition.
pour la dernière question on me demande de démontrer que $E(X)=\int_{\R}P(X>t)dt$ mais je trouve $E(X)=\frac{1}{2}(0)+\int_0^{\infty}xe^{-2x}dx=\frac{1}{4}$ et $\int_{\R}P(X>t)dt=\int_{-\infty}^0P(X>t)dt+\int_0^{+\infty}P(X>t)dt=\infty+\frac{1}{4}$. Mon calcul de $E(X)$ est-il incorrect ?
Il y a une erreur d'écriture dans ta formule, ce qui est à démontrer c'est $\displaystyle E(X)=\int_{\R^+}P(X>t)dt$. Cette égalité est d'ailleurs vraie pour toute variable aléatoire positive.
Cordialement.
Bonjour
Suite à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1815796,1816316#msg-1816316 . Je me demandais dans un cours de calcul de fiabilité pourquoi la formule $\displaystyle E(X)=\int_{\R^+}P(X>t)dt$ était vraie . C'est l'occasion pour moi de comprendre.
Si X est une v.a à densité f qui désigne la durée de vie d'un composant, sa fonction de fiabilité est $R(t)=P(X>t)$ et par defintion le MTBF ( la moyenne des temps de bon fonctionnement) est donnée par $\int_0^{+_\infty} R(t) dt$ ( en fiabilité l'origine des temps est l'instant 0) . Je me demandais pourquoi $E(X)=MTBF$
Par definition $E(X)=\int_0^{+\infty} tf(t)dt=\int_0^{+\infty} tF'(t)dt=-\int_0^{+\infty} tR'(t)d=[-tR(t)]_0^{+\infty} +\int_0^{+_\infty} R(t) dt$
Ma question que je me la pose toujours , pourquoi la limite en $+\infty$ de $\, tR(t)$ est nulle
Je sais que la limite de $R(t)$ est nulle en $+\infty$
Il me semble que cela a à voir avec la convergence de l'intégrale qui donne l'espérance. Et évidemment, on suppose que $X$ a un moment d'ordre 1, une espérance finie. Je n'ai pas de preuve rédigée sous la main; si tu as le bouquin d'Alea, je pense qu'il traite la question.
Finalement, j'ai trouvé ça dans un exercice du Ouvrard (tome 2) qui généralise. L'idée est de fubiniser, en posant $P(X>x)=\int_{\Omega} 1_{X>x}\ dP$.
j'aurais dû y penser, puisque c'est ce qu'on fait sur les VA discrètes, en se ramenant à une double somme (double intégrale de comptage).
Cordialement.
Je n'ai pas son livre. Si tu tombes sur une preuve, fait moi signe