Lp est complet
Bonjour à tous
Voilà j'ai un peu de mal à comprendre certains points de cette démonstration, ça va trop vite pour moi en terme d'arguments.
- La suite de fonctions $g_n(x)$ semble mesurable, positive et croissante à $x$ fixé mais je ne comprends pas comment on utilise exactement la convergence monotone pour prouver que $(g_n)$ converge vers une fonction de $L_p$ ?
- Quelques lignes avant la fin, il est dit "on sait que $f_n(x)$ est de Cauchy...", de quel argument se sert-on pour établir cela ? Veut-on dire qu'elle est de Cauchy dans $\R$ ? Y a-t-il un lien avec l'inégalité prouvée juste au dessus ?
Merci par avance pour quelques détails supplémentaires.
Voilà j'ai un peu de mal à comprendre certains points de cette démonstration, ça va trop vite pour moi en terme d'arguments.
- La suite de fonctions $g_n(x)$ semble mesurable, positive et croissante à $x$ fixé mais je ne comprends pas comment on utilise exactement la convergence monotone pour prouver que $(g_n)$ converge vers une fonction de $L_p$ ?
- Quelques lignes avant la fin, il est dit "on sait que $f_n(x)$ est de Cauchy...", de quel argument se sert-on pour établir cela ? Veut-on dire qu'elle est de Cauchy dans $\R$ ? Y a-t-il un lien avec l'inégalité prouvée juste au dessus ?
Merci par avance pour quelques détails supplémentaires.
Réponses
-
Bonjour,
1- Peux-tu citer le TCM ?
2- Peux-tu relire la démonstration (en dirigeant ton regard un peu plus haut...vers la gauche...) ? -
@raboteux en ce qui concerne ta question 2, il est dit que $g_n$ converge presque partout vers $g\in L^{p}$. Donc pour presque tout $x$, la suite $g_n(x)$ converge et donc pour presque tout $x$, la suite $g_n(x)$ est une suite de Cauchy.
Vu que dans ton texte il y a écrit que :
$$|f_m(x)-f_n(x)| \le g_m(x)-g_{n-1}(x)$$
on en déduit que pour presque tout $x$, la suite $f_n(x)$ est de Cauchy aussi. -
Bonjour,
Merci à tous les deux.
Donc le TCM : si $g_n$ est une suite croissante de fonctions mesurables et positives et que $g_n$ converge simplement vers une fonction $g$, alors $lim\int{g_n}=\int{g}$, donc si je ne dit pas de bétise $g_n$ converge alors vers $g$ pour la norme $L_1$
Mais je comprends toujours pas comment on l'utilise dans le cas présent, la majoration par $2$ permet de prouver que $g_n$ appartient à $L_p$ car sa norme $L_p$ est bornée par un scalaire, ça OK, mais le lien avec le TCM j'ai encore du mal à l'établir... -
@raboteux la suite $\|g_n\|$ converge car croissante et bornée par 2.
si tu notes $g(x):=\lim_{n\rightarrow +\infty} g_n(x)$ (sachant que $g(x)$ peut valoir $+\infty$), alors
$$2^p \geqslant \lim_{n\rightarrow +\infty}\|g_n\|^p = \lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{\Omega} g^p_n d\lambda = \int_{\Omega} \lim_{n\rightarrow +\infty} g^p_n d\lambda = \int_{\Omega} g^p d\lambda$$
on en déduit que $g$ est définie presque partout et est dans $L^p$ (car $g^p$ est intégrable). -
Merci beaucoup Raoul, pas si trivial que ça en fait, fallait connaître.
Donc si j'ai bien compris, on prouve dans un premier temps que $g_n$ appartient à $L^p$ (majoration par 2), puis on applique le TCM, non pas à $g_n$ comme je le croyais au début mais à la suite de fonction $g_n^p$ c'est cela? Et grâce à cela, on aboutit au constat que $g$ aussi est dans $L^p$? -
exact.(tu)
-
@raboteux
Comme conséquence de cette démonstration on a la résultat suivant (caché entre les lignes):
Si $(f_n )$ converge vers $f$ dans $L^p$ alors on peut en extraire une suite qui converge presque surement vers $f$
Tu le vois ? -
raoul.S écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1815876,1817556#msg-1817556
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Bonjour
Une dernière petite question pour la route : quel élément dans cette démonstration induit le fait que g est défini seulement presque partout et pas pour tout $x$ ?
Merci ! -
Il peut exister des $x$ tels que la suite $g_n(x)$ n'admet pas de limite.
-
Bonjour,
Merci. Je comprends bien mais pourquoi dans le cas présent il peut exister ce genre de $x$ là? -
Bonjour, je n’ai lu que la fin du fil mais la suite suivante devrait te convenir raboteux :
\[f_n(x)=\mathbb{1}_{\Q}(x)\sin{n}. \]
Elle ne converge pas pour tout $x$ mais elle est dans $L^p$. -
raboteux a écrit:
@raboteux les fonctions $g_n$ sont définies à partir des fonctions $f_n$. Si tes fonctions $f_n$ valent toutes $+\infty$ en un point $x$ de mesure nulle de $\Omega$ alors $g_n(x)$ n'existe pour aucun $n$ et du coup $g$ n'est même pas définie en $x$.
Il faut se rappeler que lorsqu'on travaille avec les espaces $L^p$ on utilise l'abus de notation qui consiste à identifier une classe de fonctions (donc un élément de $L^p$) avec un de ses représentants et ce représentant n'a pas besoin d'être défini partout mais presque partout.
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Bonjour!
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