Fonction vs application

nenu · May 2019

Bonsoir
Quelle différence y a-t-il entre fonction et application ?
Merci.

gebrane · May 2019

Rien , si tu fais tes études dans une université française.

Dom · May 2019

Bonsoir,

ce fil est ancien mais toujours d'actualité.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,347392

Je recode le message de Christophe entre deux lignes :
Texte de Christophe

Etant donné un produit cartésien $E\times F$ de $2$ ensembles, c'est à dire l'ensemble des couples $(x,y)$ pour $x\in E$ et $y\in F$.

$\bullet$ Une application $f$ de $E$ dans $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$ tel que pour tout $x\in E$, il existe un unique $y\in F$ avec $(x,y)\in f$.
(l'unicité permet de donner le nom $f(x)$ à ce seul $y$ pour $x$)

$\bullet$ Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$ tel que pour tout $x\in E$, il existe au plus un $y\in F$ avec $(x,y)\in f$.

Fin du texte de Christophe
J'ajoute que dans beaucoup de bouquins, on parle de "fonction" en pensant "application".

Cordialement

Dom

Héhéhé · May 2019

C'est un vieux débat qui agite régulièrement le forum. La distinction fonction/application n'est plus vraiment d'actualité. La deuxième définition qu'a donné Dom ne sert à rien (à part dans les vieux exercices du genre chercher le domaine de définition de $x \mapsto 1/x$ mais qui ont plus ou moins disparus). Dans 99% des textes de maths actuels, on ne fait plus la distinction (et d'ailleurs en anglais non plus), une fonction/application désignant la première définition qu'a donnée Dom.

totem · May 2019

Mais alors pourquoi parle-t-on exclusivement d'application linéaire, ou d'application surjective... en algèbre ?

gebrane · May 2019

@totem Tout ça c'est fou ( deux langages pour designer un )
( même je voulais taquiner (dans un fil à blagues) Gabu que je l'aime bien sur application vs fonction mais Dom a gâché tout :-D)

Héhéhé · May 2019

Totem: ce n'est qu'une question d'usage, on pourrait très bien parler de fonction linéaire.

Cyrano · May 2019

En Belgique, une fonction est le nom donné à une application à valeurs dans $\C$.

totem · May 2019

Cela correspond peut-être à quelque chose historiquement... enfin en France.

Topotopo · October 2019

Bonjour,
j'ai cherché la différence entre une fonction et une application et j'ai trouvé que pour une fonction tout élément de l'ensemble de départ a au plus une image,
et pour l'application tout élément de l'ensemble de départ a une seule image.

Mais alors $\begin{array}[t]{cccl}
f:& \mathbb{R}\setminus \{0\}&\longrightarrow& \mathbb{R}\\
& x&\longmapsto& \frac1x
\end{array}$ c'est une application et non pas une fonction.
Y a-t-il un exemple dans $\mathbb R$ où on distingue l'application de la fonction ?
Merci.

Poirot · October 2019

C'est un débat inutile. Selon cette définition, toute application est une fonction (et heureusement), mais on pourrait alors parler de fonction sur $\mathbb R$ qui ne sont pas forcément définie sur tout $\mathbb R$, ce qui n'a aucun intérêt.

Il existe des domaines des maths ou considérer des fonctions qui ne sont définies partout à un intérêt, par exemple en théorie de la calculabilité, mais ça n'a strictement aucun intérêt pour faire de l'analyse réelle par exemple.

Topotopo · October 2019

Je ne comprends pas la dernière partie "il existe des domaines..."

Dom · October 2019

« Des branches des mathématiques », « des thèmes »

Topotopo · October 2019

non je veux dire le paragraphe qui commence par: il existe des domaines.....

"Il existe des domaines des maths ou considérer des fonctions qui ne sont définies partout à un intérêt, par exemple en théorie de la calculabilité, mais ça n'a strictement aucun intérêt pour faire de l'analyse réelle par exemple"

je n'ai pas compris

Pablo_de_retour · October 2019

$f: \mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R} $ définie par $ f(x) = \frac1x $ est une application.
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ définie par $ f(x) = \frac1x $ est une fonction.

Poirot · October 2019

@Topotopo : il n'y a rien à comprendre, je te dis qu'il est inutile de faire la distinction entre fonction et application quand on fait de l'analyse réelle. Par contre ça peut être utile dans d'autres domaines des maths, comme la théorie de la calculabilité, mais ça m'étonnerait que ce soit quelque chose qui t'intéresse pour le moment.