Fourier

mati
mati
dans Analyse
Bonjour
1- je souhaite votre aide pour montrer que $\bar{F}u= F F u$ où $F$ note la transformée de Fourier, et $\bar{F}$ son conjugué.
2- Aussi comment expliquer que $L^1$ ne conserve pas Fourier, mais $L^2$ conserve Fourier? C'est bizare car en meme temps on dit que toute fonction $f \in L^1$ appartient à l'espace de Schwartz $S$ et $S$ conserve Fourier, donc comment on dit en meme temps que si $u \in L^1$ son Fourier n'est pas forcément dans $L^1$?

Cordialement

Réponses

  • Said Fubini
    Said Fubini
    $x\longmapsto \frac{\sin x}{x} \notin L^1(\R)$
  • P.
    P.
    Simplement en regardant un exemple! $u(x)=e^{-x}I_{[0,\infty[}(x)$ est dans $L^1$ et sa TF $ t\mapsto 1/(1-it )$ n'y est pas.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    L'assertion : "toute fonction $f$ appartenant à $L^{1}$ appartient à l'espace de Schwartz $\mathcal{S}$" est fallacieuse... C'est la réciproque qui est vraie...
  • mati
    mati
    et pour $L^2$? Est-ce que Fourier de toute fonction $L^2$ est $L^2$? Pourquoi?
    2- est ce que $L^p(\R^n)$ s'injecte dans $S(\R^n)$ pour tout $p \in [1,+\infty[$? Ou bien uniquement pour $p=1,2,+\infty$?
    3. pourquoi $u(x)= (2\pi)^{-n} \bar{F}u= (2 \pi)^ FFu(-x)$?

    Cordialement
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    1) Vu que la transformée de Fourier est une isométrie pour la norme $2$ (à normalisation près) de la classe de Schwartz sur la classe de Schwartz, on peut prolonger la transformée de Fourier en une isométrie de $L^{2}$ sur $L^{2}$ (par le théorème de prolongement des applications uniformément continues).

    Une question reste en suspens cependant, cette TF étendue possède-t-elle une expression intégrale?
    La réponse est oui! Mais la convergence de l'intégrale se fait au sens des valeurs principales (et pas seulement dans $L^{2}$) mais en fait pp (Th. de Carleson/Hunt).

    2) Une fois de plus, tu confonds les inclusions d'espaces fonctionnels ^^
    C'est l'inclusion réciproque qui est vraie (tout simplement car comment veux-tu qu'une fonction $L^{p}$ soit indéfiniment dérivable?)

    3) Cette formule est trivialement fausse (regarde les exemples donnés par Saïd Fubini et P.)... Tu confonds avec l'inversion de Fourier (qui stipule qu'à une constante près et à conjugaison près, l'inverse de la TF est elle-même...)
  • mati
    mati
    Pour 3 quelle est cette relation entre l'inversion de Fourier et Fourier de Fourier au point (-x)? S'il vous plaît.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    A une constante près (ceci dépend de la normalisation prise sur la TF) $FFu(.)=u(-.).$
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