Fourier et dérivée
Bonjour
on a la règle suivante entre Fourier et la dérivée:
$$
\forall \alpha \in \N^n, D^{\alpha} F(\varphi)(x)= (-i)^{|\alpha|} F(x^{\alpha} \varphi).
$$
cela veut dire que si on veut calculer $D^{\alpha} F(\varphi)(0)$ ça nous donnera toujours 0? Puisqu'on remplace $x$ par 0!
Un exemple simple, si on veut calculer $F(\delta')$. On a pour tout $\varphi \in S(\R)$:
$$
\langle F(\delta'),\varphi\rangle= \langle \delta',F(\varphi)\rangle = - \langle \delta, (F(\varphi)'\rangle = - (F(\varphi))'(0)= -i(F(x \varphi))(0).
$$
Je n'arrive pas à comprendre s'il faut remplacer $x$ par 0 ou non et pourquoi.
Merci par avance.
on a la règle suivante entre Fourier et la dérivée:
$$
\forall \alpha \in \N^n, D^{\alpha} F(\varphi)(x)= (-i)^{|\alpha|} F(x^{\alpha} \varphi).
$$
cela veut dire que si on veut calculer $D^{\alpha} F(\varphi)(0)$ ça nous donnera toujours 0? Puisqu'on remplace $x$ par 0!
Un exemple simple, si on veut calculer $F(\delta')$. On a pour tout $\varphi \in S(\R)$:
$$
\langle F(\delta'),\varphi\rangle= \langle \delta',F(\varphi)\rangle = - \langle \delta, (F(\varphi)'\rangle = - (F(\varphi))'(0)= -i(F(x \varphi))(0).
$$
Je n'arrive pas à comprendre s'il faut remplacer $x$ par 0 ou non et pourquoi.
Merci par avance.
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Réponses
$$ \forall \alpha \in \N^n, D^{\alpha} F(\varphi(x))(y)= (-i)^{|\alpha|} F(x^{\alpha} \varphi(x))(y) $$
$$
D^{\alpha} \check{\varphi}=(-i)^{|\alpha|} \check{x^{\alpha} \varphi}
$$
est-ce que $x$ est le point pour lequel on calcuk la dérivée de Fourier $\varphi$? ou bien $x$ est le point où est définie Fourier $\varphi$? C'est ce point qui n'est pas clair.
Pour le cas $\check{D^{\alpha} \varphi}=(i)^{|alpha|} x^{\alpha} \check{\varphi}$, est ce que c'est $\check{D^{\alpha} \varphi}(x)$ ou bien $\check{D^{\alpha} \varphi(x)}(y)$?
Merci d'avance de m'aider sur ce point.
Dans le membre de droite, le $x^\alpha$ est la fonction $x\mapsto x^\alpha$.
Donc $x^\alpha\varphi$ est la fonction $x\mapsto x^\alpha\varphi(x)$.
(F(\varphi)(x))'(y)= -i F(x \varphi(x))(y)
$$ On a $$
(F(\varphi)(x))'(y)= (\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i x . \xi} \varphi(\xi) d\xi)' (y).
$$ Après où placer le point $y$ ?
À Poirot: non je ne pense pas du tout comme vous dites. Je veux seulement savoir combien de points interviennent dans la définition de la dérivée et où sont-ils placés.
Sa transformée de Fourier c'est $F(h(x))(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i x y} h(x) dx$. Elle est continue parce que $h \in L^1$ et que $e^{-ixy}$ est bornée.
Si en plus $x h(x)$ est intégrable alors $$F(h(x))'(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} (e^{-i x y})' h(x) dx=\int_{-\infty}^{+\infty} (-ix) e^{-i x y} h(x) dx= F(-ix h(x))(y)$$ (preuve : intègre $ \int_{-\infty}^{+\infty} (-ix) e^{-i x y} h(x) dx dy$ pour retomber sur $F(h(x))(y)$)
Cette relation $F(h(x))'(y) = F(-ix h(x))(y)$ s'étend aux distributions (tempérées, celles dont la transformée de Fourier est aussi une distribution) quand on passe à $\R^n$ et aux dérivées $a$-èmes la relation devient $$(D^a F(h(x)))(y) = F((-i)^{|a|} x^a h(x))(y).
$$ Mais ça parait incongru de parler de distributions à quelqu'un qui n'a jamais vu une transformée de Fourier (les distributions ne servent qu'à ça : manipuler des transformées de Fourier, la transformée de Fourier sert à simplifier les opérateurs de convolution, la dérivée et la primitive étant des opérateurs de convolution).
Le point essentiel c'est le théorème d'inversion de Fourier : quand tout converge, avec $g(x) = \int_{-\infty}^x \frac{2 \sin(x)}{x}dx$ alors
\begin{align*}
\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^R F(h(x))(y)dy &=\lim_{R \to \infty} \int_{-\infty}^\infty h(x) (\int_{-R}^R e^{-ixy}dy)dx \\
&=\lim_{R \to \infty} \int_{-\infty}^\infty h(x) R g'(Rx)dx \\
&=-\lim_{R \to \infty} \int_{-\infty}^\infty h'(x) (\int_{-\infty}^x R g'(Ru)du)dx\\
&=- \int_{-\infty}^\infty h'(x) (\lim_{R \to \infty} g(R x))dx \\
&= - \int_{-\infty}^\infty h'(x) 2\pi 1_{x > 0}dx=2\pi h(0)
\end{align*}