Fonction de classe $C^1$

Bonjour Ccapucine.

Dom a retraduit "$C^1$ par rapport à y" de la façon dont tout le monde peut le comprendre, et c'est un exercice que peut faire un étudiant de L1 (rectifie son 1 au dénominateur en un 4 comme dans ton f(x,y)).
S'il y a une autre signification que "la fonction de y (x étant considéré comme une constante) est dérivable de dérivée continue"), à toi de préciser.

Cordialement.

Hum... Cauchy-Lipschitz plutôt ?

Si tu veux, tu peux aussi poster l'énoncé (une photo suffira).

Aussi, que vient faire ce $t'$, peu usuel (sans que ce soit une erreur) ?

@ccapucine : si tu parles d'existence locale d'une solution, il suffit de montrer qu'une fonction de classe $C_1$ est localement lipschitzienne.

Alors, je donne une "réponse claire" :

Pour $y=\sqrt[3]{-4}$, cela pose problème.

En encore plus clair : sur $\R$, NON, elle n'est pas définie partout.

supp

Oui, pour tout $x$ réel, la fonction $g:\R\setminus\{-\sqrt[3]{4}\}\to\R$, $y\mapsto \frac{4x-x^3}{4+y^3}$ est de classe $C^1$ (sur $\R\setminus\{-\sqrt[3]{4}\}$).

Oui, il suffit que $f$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ soient continues pour appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz (la deuxième condition et le théorème des accroissements finis garantissent que $f$ est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable). Ainsi, pour $(x_0,y_0)\in\R\times \bigl(\R\setminus\{-\sqrt[3]{4}\}\bigr)$, il existe en effet une unique solution définie sur un voisinage de $x_0$.

Note que dans ce cas très précis, qui est une équation à variables séparables, on peut calculer ladite solution, ou du moins une équation polynomiale qui lie $x$ et $y(x)$.

Dans $\R^2$, les points admettent des voisinages compacts et les fonctions continues sont bornés sur les compacts.

Non, la notation n'est pas correcte : d'une part, qui est $x$ ? d'autre part, de part et d'autre de l'opérateur $\setminus$, il faut deux ensembles et $(x,(-4)^{1/3})$ n'en est pas un (du moins, ce n'est pas une partie de $\R^2$ mais un élément de $\R^2$). Des notations plus appropriées seraient $\R^2\setminus\bigl(\R\times\bigl\{(-4)^{1/3}\bigr\}\bigr)$ ou $\bigl\{(x,y)\in\R^2\,:\ y\ne(-4)^{1/3}\bigr\}$ ou $\R^2\setminus\bigl\{(x,y)\,:\ y=(-4)^{1/3}\bigr\}$ ou, avec un abus, $\R^2\setminus\bigl\{y=(-4)^{1/3}\bigr\}$.

ccapucine a écrit:

si on travaille sur un voisinage alors cette équation reste maximale?

Pour moi c'est un suppo et au lit.

e.v.

supp

Bonsoir ccapucine
Pour ton problème particulier, Cauchy-Lipschitz est INUTILE.
En ce qui concerne les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz, la fonction $f$ est supposée $C^1$ tout court sur un voisinage de $(x_0,y_0)$. L'expression "$C^1$ par rapport à $y$" n'est pas usuelle. De plus, le théorème avec que ça comme hypothèse EST FAUX.

puisque $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ est continue, localement (sur un compact) via le th de Heine $f$ est lipschitzienne en sa deuxième variable d'après le TAF (ou le bouleau) , ce qui y assure l'unicité et l'existence de la solution... par le théorème de CL ... tendrement!

Si tu sais ce que signifie $\dfrac{\partial f}{\partial y}$, tu sais que tu reposes une question dont tu as déjà eu la réponse. Si tu ne sais pas, il vaut lieux éviter d'en parler tant que tu n'as pas appris de quoi tu parles.

Je répète : "de classe $C^1$ par rapport à $y$ n'a pas de sens Mathématique. Donc ... à ne pas utiliser. Dans les maths, il n'y a rien à comprendre. On a des formules, on applique des théorèmes, c'est tout ;-)

@Math Coss : tu as raison, j'exagère un peu car je n'aime pas les questions sans signification.
Une fonction $(x,y)\mapsto f(x,y)$, $C^1$ par rapport à $y$ ? Moi pas comprendre.

Moi, je connais ? $f$ est $C^1$ sur un ouvert de $\R^2$

Non. C'est le qualificatif $C^1$ qui est GLOBAL. Il veut dire "une fois continument différentiable".
Toi tu veux parler de dérivée partielle, soit mais alors la continuité est-elle partielle ou globale ? On ne s'en sort pas.

Alors il vaut mieux utiliser un langage qui fait sens, c'est-à-dire qui se traduit de manière non ambigu et comréhensible en formules mathématiques.