Sous-suite d'une suite de Cauchy

Topotopo · May 2019

Bonjour, soit $(x_n)$ une suite de Cauchy dans R i.e $$

\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in \mathbb{N},\ \forall p,q \in \mathbb{N},\ p>q\geq n_0\Rightarrow |x_p-x_q|<\varepsilon.

$$ Soit $(x_{\varphi(n)})$ une sous-suite de $(x_n)$ je sais que $\varphi$ est une fonction strictement croissante et vérifie $\varphi(p)>\varphi(q)$ et que $\varphi(n)>n,\ \forall n$.

Mais comment combiner tous cela pour montrer que $(x_{\varphi(n)})$ est de Cauchy ?

Dom · May 2019

Pour le $n_0$ de l’expression quantifiée, dès que $p>q>n_0$, que peut-on affirmer pour $\varphi(p)$ et $\varphi(q)$ ?

Topotopo · May 2019

que $\varphi(p)>\varphi(q)$ !

Mais comment déduire que $|x_{\varphi(p)}-x_{\varphi(q)}|<\varepsilon$ ?

Dom · May 2019

L'ordre entre $p$ et $q$ n'est pas si important.
Par contre, par rapport à $n$, c'est essentiel.

Récris ce que veut dire que $u_\varphi$ est une suite de Cauchy, ça va aller tout seul.

Math Coss · May 2019

Bon à savoir : si $\varphi$ est une application injective croissante de $\N$ dans $\N$, alors $\varphi(p)\ge p$ pour tout $p$. Saurais-tu le montrer ? l'exploiter ?

Edit : ajout de « croissante ».

side · May 2019

supp

Topotopo · May 2019

$x_{\varphi(n)}$ est de Cachy i.e $$

\forall \varepsilon>0,\ \exists \varphi(n_0)\in \mathbb{N},\ \forall \varphi(p),\varphi(q)\in \mathbb{N},\ \varphi(p)>\varphi(q)\geq \varphi(n_0)\Rightarrow |x_{\varphi(p)}-x_{\varphi(q)}|\leq \varepsilon

$$ J'ai démontré par récurrence que $\varphi(n)>n$ mais je ne sais appliquer.

raoul.S · May 2019

@Topotopo pour $ \varepsilon>0$ donné il existe un $n_0\in\mathbb{N}$ tel que : $$

\forall p,q \in \mathbb{N},\ p>q\geq n_0\Rightarrow |x_p-x_q|<\varepsilon

$$ et donc : $$

\forall p,q \in \mathbb{N},\ p>q\geq n_0 \Rightarrow \varphi(p) > \varphi(q) \geq n_0 \Rightarrow|x_{\varphi(p)}-x_{\varphi(q)}|<\varepsilon.$$

Sous-suite d'une suite de Cauchy

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