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Fonction dérivable sur les irrationnels

Envoyé par adrien2019 
Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Bonjour à tous,
Ce post fait suite à un premier post où je me demandais s'il existait une structure particulière pour l'ensemble des points de dérivabilité d'une fonction. La question que je me pose maintenant est: existe-t-il une fonction $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et discontinue en tout point de $\mathbb{Q}$ (et si oui, les discontinuités peuvent-elles être de première espèce)? J'ai cherché dans plusieurs livres, mais je n'ai rien trouvé de tel. Avez-vous des idées pour construire une telle fonction (ou une preuve pour montrer qu'il n'en existe pas)?
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Je précise que j'ai essayé de modifier la fonction de Thomae comme suit, sans succès. Soit $(q_n)$ une énumération des rationnels. Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs strictement décroissante et de limite nulle. On pose $f(x)=0$ si $x$ est irrationnel et $f(x)=a_n$ si $x=q_n$. Je me dis que si la suite $(a_n)$ décroit assez vite, il y a des chances pour que la fonction obtenue soit dérivable en tout irrationnel. Est-ce une bonne piste à votre avis? Sinon voyez-vous une autre façon d'aborder le problème?
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Bonsoir,

Si une telle fonction existe alors on aurait une propriété topologique dont je n'arrive pas à me convaincre qu'elle puisse être vraie sans pouvoir l'infirmer :

il est possible de construire pour chaque irrationnel de $[0; 1]$ un voisinage ouvert tel que leur réunion $U$ ne recouvre pas $[0; 1]$ ou dit autrement tel qu'il existe un rationnel qui n'est pas dans $U$.

Ce serait assez spectaculaire...à moins que quelque chose m'échappe.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
En fait non c'est possible, par ex en Considérant pour $x$ irrationnel $] x/2; 3x/2[$ inter $[0;1]$
$0$ n'est dans aucun intervalle ouvert
C'est donc trivialement possible mais j'avais l'impression que c'était remarquable...
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Si une fonction définie sur $\mathbb{R}$ est positive sur les rationnels et nulle sur les irrationnels alors il existe toujours un sous ensemble de $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ non dénombrable dense sur lequel $f$ est non dérivable.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
@ Krokop Pouvez-vous détailler votre argument?
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Ce n'est pas mon argument car j'avais lu ça quelque part. Bon je viens de voir sur Wikipédia, il y a un lien: ici.

Je me demande si ce n'est pas sous la plume de Foys que j'avais lu cela ou christophe via ANS.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Idée
On se place sur $I=[0;1]$
On numéroté les rationnels de $I$ par une suite $x_n$ on considère une fonction f derivable et on construit $g=f$ sur les irrationnels et et on prend $g=f+1$ sur les rationnels
Exemple trivial mais qui ne fonctionne pas.

On reprend l'idée différemment en rendant f discontinue sur chaque intervalle$I_n=$ $I$ inter $]x_n-1/2^n; x_n+1/2^n[ $ (il suffit de multiplier sur ces intervalles par fonction caractéristique de $Q$. Puis on régularise sur chaque intervalle $I_n$ privé de $\{x_n\} $ en convolant par exemple avec une fonction régulière et en raccordant aux bords de chaque intervalle tout en ayant une discontinuité en $x_n$. Il faut l'écrire car il n'est pas évident que ce soit possible. Mais si ça fonctionne on a un procédé de construction.

Le truc c'est que je ne vois pas la différence avec la 1ère construction dont on est sûr qu'elle ne fonctionne pas !!!

Post publication : ça ne marche pas non plus car se retrouve encore avec des rationnels où la fonction est régulière. Par ailleurs $1/2^n$ est un très mauvais choix sur un intervalle de longueur $1$, il faudrait prendre $1/A^n$ avec $A$ assez grand. Mais de toute façon ça ne fonctionne pas.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par side.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Autre candidat
soit $f$ dérivable sur $\R^*$ discontinue en 0, bornée et de dérivée bornée et soit $g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f(x-a_n)/2^n$ où la suite $(a_n) $ est injective et représente tous les rationnels.
La série des dérivées est normalement convergente ça devrait suffire je pense pour avoir $f$ dérivable sur tous les irrationnels et discontinue sur les rationnels.

Ce n'est pas complètement clair.
La nuit porte conseil.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Bonjour,
Merci à admin pour la mise en forme de la série sous latex du post précédent.
[À ton service. Sur l'expression : clic droit > Afficher sous forme < Commande Tex. winking smiley AD]

Suite du post précédent.

La série définissant $g$ est normalement convergente et comme $\forall n>0,\ x\mapsto f(x-a_n)$ est continue en tout irrationnel $g$ est continue sur tout irrationnel.
En écrivant la fonction $x\mapsto g_n(x)=g(x) - f(x-a_n) /2^n$ comme somme d'une série normalement convergente de fonctions continues on déduit que $g_n$ est continue et donc que $g=(g-g_n) + g_n$ est discontinue en $a_n$ et ceci pour tout $n>0$.

La série des dérivées est normalement convergente. Je ne sais pas si ça peut servir pour la suite, mais la série des dérivées est continue en tout irrationnel.

Il suffirait pour un candidat de montrer que $g$ est dérivable en tout irrationnel. Si on pouvait montrer qu'en tout irrationnel $g'$ est égale à la série des dérivées, on conclurait...
Je ne vois pas.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
D'après l'article

[fr.m.wikipedia.org]

on peut modifier la fonction de Thomae pour qu'elle reste discontinue en tout rationnel, et devienne dérivable en tout irrationnel qui n'est pas un nombre de Liouville.


@Krokop
Et extrait d'un article accessible à partir du lien ci-dessus (référence 3) :
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on
the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not
differentiable.

Cette même référence 3 précise qu'il n'est pas possible de modifier la fonction de Thomae pour la rendre dérivable sur tous les irrationnels.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
cela doit être le même article que j'ai donné plus haut, je l'ai aussi trouvé sur Wikipédia.

J'ai l'impression que si on prend $f:I\to\mathbb{R}$ avec $I$ intervalle ouvert alors si $f$ est discontinue en tout point d'un sous-ensemble dense de $I$ alors l'ensemble des points où $f$ admet une dérivée est réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses dans $I$.On dit que c'est un ensemble maigre.

Pour cela il suffirait de prouver que l'ensemble ( que j'appelle $E$) où au moins un point admet une dérivée de Dini infini est une intersection dénombrable d'ouverts de $I.$ On dit un $G_\delta.$

En effet l'ensemble des discontinuités de $f$ est un ensemble dense de $I$ donc $E$ aussi. Donc $E$ serait un $G_\delta$ dense donc c'est le complémentaire d'un ensemble maigre. Donc l'ensemble des points où les quatre dérivées de Dini sont finies est un ensemble maigre de $I.$ Donc l'ensemble des points où $f$ admet une dérivée est maigre dans $I.$

Question donc: Est-ce que $E$ est un $G_\delta\;?$ J'ai l'impression que oui, je vais réfléchir après manger.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Krokop.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Intéressant !
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
@ Krokop Je comprends votre idée, mais je n'arrive pas à la démontrer (ni à l'infirmer). Avez-vous réussi de votre côté?
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
bonsoir,

référence :
[fr.wikipedia.org]
Je ne sais plus quel est le lien vers le document, mais le titre est : Lectures on the theory of real variables. VOL II by James Pierpont
En PJ les pages 496 et 497 : théorème + exemples

Si j'ai bien compris le théorème alors on peut construire $f$ vérifiant :
$f$ continue sur $I=[0;1]$ dérivable en tout irrationnel de $I=[0;1]$, et non dérivable sur les rationnels.
Il suffit alors de modifier la valeur de $f$ sur les rationnels (facile à faire) pour construire une fonction qui est discontinue en tout point rationnel tout en restant dérivable en tout irrationnel.

Enfin, je pense que c'est une solution au problème posé : j'ai quand même un doute car l’auteur utilise le terme ''difference quotient'' au lieu de ''derivative''...
J'ai l'impression que j'étais assez proche dans mes précédents posts, mais je n'ai pas vu comment on pouvait vérifier la dérivabilité. Je regarderai ça demain...



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - page 496.pdf (444.4 KB)
ouvrir | télécharger - page 497.pdf (305 KB)
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
@ side Même en modifiant la fonction, je ne vois pas comment obtenir une fonction dérivable sur tout les irrationnels. Le fait de modifier la valeur en tout rationnels risque de rendre la fonction non dérivable en certains irrationnels.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Ah oui j'ai écrit ça à une heure avancée de la nuit... Le facile a faire : je pensais à un nombre fini et ça marche plus quand il y a tous les rationnels...
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Post supprimé car tout était faux

J'avais essayé d'étudier un recouvrement des irrationnels mais ça ne mène à rien.

Une réunion de voisinage ouverts des irrationnels de $I=[0;1]$ recouvre $I$ sauf peut être un nombre fini de points de $I$ et contient donc un segment de longueur non nulle. Mais ça ne m'a mené nulle part...sauf à écrire de grossières erreurs dans des inégalités.



Edité 6 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
Désolé adrien2019 j'ai oublié de regarder et aujourd'hui journée à la mer.

Bon sinon $E$ est bien un $G_\delta$, c'est facile à prouver en fait. Est-ce que tu as essayé ? L'idée c'est de remarquer que l'ensemble des points où les dérivées de Dini sont finies est une réunion dénombrable de fermés. Pour cela regarde (géométriquement) ce que ça signifie que les quatre dérivées sont finies.

Tu devrais essayer de le faire, si tu bloques, j'écrirai la preuve demain (sans oubli cette fois).
Re: Fonction dérivable sur les irrationnels
l’an passé
@ Krokop Je bloque sur la démo (je ne suis pas très à l'aise avec les $G_\delta$ et les $F_\sigma$). Pourriez-vous rédiger une preuve?
Je vous remercie d'avance!
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