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Fonction dérivable sur les irrationnels

adrien2019adrien2019
dans Analyse
Bonjour à tous,
Ce post fait suite à un premier post où je me demandais s'il existait une structure particulière pour l'ensemble des points de dérivabilité d'une fonction. La question que je me pose maintenant est: existe-t-il une fonction $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et discontinue en tout point de $\mathbb{Q}$ (et si oui, les discontinuités peuvent-elles être de première espèce)? J'ai cherché dans plusieurs livres, mais je n'ai rien trouvé de tel. Avez-vous des idées pour construire une telle fonction (ou une preuve pour montrer qu'il n'en existe pas)?
Je vous remercie d'avance pour votre aide!

Réponses

  • adrien2019adrien2019
    Je précise que j'ai essayé de modifier la fonction de Thomae comme suit, sans succès. Soit $(q_n)$ une énumération des rationnels. Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs strictement décroissante et de limite nulle. On pose $f(x)=0$ si $x$ est irrationnel et $f(x)=a_n$ si $x=q_n$. Je me dis que si la suite $(a_n)$ décroit assez vite, il y a des chances pour que la fonction obtenue soit dérivable en tout irrationnel. Est-ce une bonne piste à votre avis? Sinon voyez-vous une autre façon d'aborder le problème?
  • sideside
    supp
  • sideside
    supp
  • KrokopKrokop
    Si une fonction définie sur $\mathbb{R}$ est positive sur les rationnels et nulle sur les irrationnels alors il existe toujours un sous ensemble de $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ non dénombrable dense sur lequel $f$ est non dérivable.
  • adrien2019adrien2019
    @ Krokop Pouvez-vous détailler votre argument?
  • KrokopKrokop
    Ce n'est pas mon argument car j'avais lu ça quelque part. Bon je viens de voir sur Wikipédia, il y a un lien: ici.

    Je me demande si ce n'est pas sous la plume de Foys que j'avais lu cela ou christophe via ANS.
  • sideside
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  • sideside
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  • sideside
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  • sideside
    supp
  • KrokopKrokop
    cela doit être le même article que j'ai donné plus haut, je l'ai aussi trouvé sur Wikipédia.

    J'ai l'impression que si on prend $f:I\to\mathbb{R}$ avec $I$ intervalle ouvert alors si $f$ est discontinue en tout point d'un sous-ensemble dense de $I$ alors l'ensemble des points où $f$ admet une dérivée est réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses dans $I$.On dit que c'est un ensemble maigre.

    Pour cela il suffirait de prouver que l'ensemble ( que j'appelle $E$) où au moins un point admet une dérivée de Dini infini est une intersection dénombrable d'ouverts de $I.$ On dit un $G_\delta.$

    En effet l'ensemble des discontinuités de $f$ est un ensemble dense de $I$ donc $E$ aussi. Donc $E$ serait un $G_\delta$ dense donc c'est le complémentaire d'un ensemble maigre. Donc l'ensemble des points où les quatre dérivées de Dini sont finies est un ensemble maigre de $I.$ Donc l'ensemble des points où $f$ admet une dérivée est maigre dans $I.$

    Question donc: Est-ce que $E$ est un $G_\delta\;?$ J'ai l'impression que oui, je vais réfléchir après manger.
  • TryssTryss
    Intéressant !
  • adrien2019adrien2019
    @ Krokop Je comprends votre idée, mais je n'arrive pas à la démontrer (ni à l'infirmer). Avez-vous réussi de votre côté?
  • sideside
    supp
  • adrien2019adrien2019
    @ side Même en modifiant la fonction, je ne vois pas comment obtenir une fonction dérivable sur tout les irrationnels. Le fait de modifier la valeur en tout rationnels risque de rendre la fonction non dérivable en certains irrationnels.
  • sideside
    supp
  • sideside
    supp
  • KrokopKrokop
    Désolé adrien2019 j'ai oublié de regarder et aujourd'hui journée à la mer.

    Bon sinon $E$ est bien un $G_\delta$, c'est facile à prouver en fait. Est-ce que tu as essayé ? L'idée c'est de remarquer que l'ensemble des points où les dérivées de Dini sont finies est une réunion dénombrable de fermés. Pour cela regarde (géométriquement) ce que ça signifie que les quatre dérivées sont finies.

    Tu devrais essayer de le faire, si tu bloques, j'écrirai la preuve demain (sans oubli cette fois).
  • adrien2019adrien2019
    @ Krokop Je bloque sur la démo (je ne suis pas très à l'aise avec les $G_\delta$ et les $F_\sigma$). Pourriez-vous rédiger une preuve?
    Je vous remercie d'avance!
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