Fonction dérivable sur les irrationnels
dans Analyse
Bonjour à tous,
Ce post fait suite à un premier post où je me demandais s'il existait une structure particulière pour l'ensemble des points de dérivabilité d'une fonction. La question que je me pose maintenant est: existe-t-il une fonction $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et discontinue en tout point de $\mathbb{Q}$ (et si oui, les discontinuités peuvent-elles être de première espèce)? J'ai cherché dans plusieurs livres, mais je n'ai rien trouvé de tel. Avez-vous des idées pour construire une telle fonction (ou une preuve pour montrer qu'il n'en existe pas)?
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Ce post fait suite à un premier post où je me demandais s'il existait une structure particulière pour l'ensemble des points de dérivabilité d'une fonction. La question que je me pose maintenant est: existe-t-il une fonction $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et discontinue en tout point de $\mathbb{Q}$ (et si oui, les discontinuités peuvent-elles être de première espèce)? J'ai cherché dans plusieurs livres, mais je n'ai rien trouvé de tel. Avez-vous des idées pour construire une telle fonction (ou une preuve pour montrer qu'il n'en existe pas)?
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
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Réponses
Je me demande si ce n'est pas sous la plume de Foys que j'avais lu cela ou christophe via ANS.
J'ai l'impression que si on prend $f:I\to\mathbb{R}$ avec $I$ intervalle ouvert alors si $f$ est discontinue en tout point d'un sous-ensemble dense de $I$ alors l'ensemble des points où $f$ admet une dérivée est réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses dans $I$.On dit que c'est un ensemble maigre.
Pour cela il suffirait de prouver que l'ensemble ( que j'appelle $E$) où au moins un point admet une dérivée de Dini infini est une intersection dénombrable d'ouverts de $I.$ On dit un $G_\delta.$
En effet l'ensemble des discontinuités de $f$ est un ensemble dense de $I$ donc $E$ aussi. Donc $E$ serait un $G_\delta$ dense donc c'est le complémentaire d'un ensemble maigre. Donc l'ensemble des points où les quatre dérivées de Dini sont finies est un ensemble maigre de $I.$ Donc l'ensemble des points où $f$ admet une dérivée est maigre dans $I.$
Question donc: Est-ce que $E$ est un $G_\delta\;?$ J'ai l'impression que oui, je vais réfléchir après manger.
Bon sinon $E$ est bien un $G_\delta$, c'est facile à prouver en fait. Est-ce que tu as essayé ? L'idée c'est de remarquer que l'ensemble des points où les dérivées de Dini sont finies est une réunion dénombrable de fermés. Pour cela regarde (géométriquement) ce que ça signifie que les quatre dérivées sont finies.
Tu devrais essayer de le faire, si tu bloques, j'écrirai la preuve demain (sans oubli cette fois).
Je vous remercie d'avance!