Espace $L^2$

Bonjour
Pour moi il semble évident que : \[

L^{2}(\Gamma) = \bigg\{ f : \R^{n} \rightarrow \R ~;~ \int_{\Gamma} |f|^{2} d\mathcal{L} <+\infty \bigg\}
\]

J'ai rien compris aux messages. Pour moi Poli parle du cas où $U \subset \Bbb{R}^N$ est un ouvert lisse et $\Gamma = \partial U$ est sa bordure donc un fermé de mesure nulle. C'est l'histoire de l'opérateur trace des espaces de Sobolev.

Pour définir $L^p(\partial U)$ on veut donc construire une mesure $\nu$ non-nulle sur $\partial U$, pour ça le truc logique c'est de faire un paramétrage : $W \subset \Bbb{R}^{N-1}$ un ouvert et $\phi : W \to \partial U$ qui soit $C^\infty$ et injective donc localement surjective. Alors $\int_{\phi(W)} f(y) d \nu(y) = \int_W f(\phi(x))d\phi(x)$ où $dx$ est la mesure de Lebesgue de $\Bbb{R}^{N-1}$ et $d \phi(x)=s_\phi |\det(J_\phi(x))| dx$ où et $J_\phi(x) \in \Bbb{R}^{N \times (N-1)}$ est la matrice des dérivées partielles et $\det$ le déterminant de ses colonnes. Quand $N=2$ c'est juste $W = (a,b), \phi(x) = (\phi_1(x),\phi_2(x))$ et $\int_{\phi(W)} f(y) d \nu(y) =\pm \int_a^b f(\phi(x)) \sqrt{\phi_1'(x)^2+\phi_2'(x)^2} dx$.

$s_\phi = \pm 1$ encode juste l'orientation ($\int_a^b = - \int_b^a$), l'idée c'est que cette définition ne dépend pas du paramétrage $\phi$ choisi, et qu'elle est en plus compatible avec la mesure "naturelle" : soit $A$ ouvert dans $\Bbb{R}^N$ et $\Gamma_n = \{ x \in \Bbb{R}^N, \exists y \in\Gamma, |x-y| < 1/n\}$ alors $\nu(A \cap \Gamma) = \lim_{n \to \infty} n \mu(A \cap \Gamma_n)$ où $\mu$ est la mesure de Lebesgue de $\Bbb{R}^N$.

Une fois qu'on sait intégrer sur $\partial U$ on a $L^p (\partial U)$.

Ce qui est sûr c'est que pour $u$ mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^n$, et $\Gamma = \partial \Omega$ bord d'un ouvert $\Omega$ suffisamment régulier, alors quelque soit $f$ mesurable, $\int_\Gamma |f|^2 du = 0$. Une telle définition n'aurait donc aucun intérêt.

Du coup, on va plutôt chercher à construire une mesure $\nu$ sur $\Gamma$ qui a les bonnes propriétés (cf le message de Reuns).