Composée de deux bijections
dans Analyse
Bonjour, je souhaiterais savoir, c'est une question tombée à un oral de mathématiques, mais j'ai du mal à voir ce qui est attendu :
Que peut-on dire de la composée de deux bijections ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Que peut-on dire de la composée de deux bijections ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Réponses
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L’auteur de cette question attend dans la plupart des cas de savoir si cette composée est aussi une bijection.
Puis, en général, on poursuit en demandant « et quelle est alors sa fonction réciproque ? ».
La question est en effet très ouverte, trop ouverte, on est d’accord, dans l’absolu. , -
Sûrement beaucoup de choses, mais au moins que c'est également une bijection.
-
Bonjour, d'accord merci pour vos réponses Dom et Poirot.
Et Dom par rapport à votre remarque j'aimerais savoir, si on nous demande « et quelle est alors sa fonction réciproque ? », que doit-on répondre ?
Merci d'avance pour votre réponse -
Bonjour,
je pense qu'il faut expliciter la bijection réciproque à l'aide des bijections réciproques
mais on peut également demander comment montrer que c'est une bijection et il y a plusieurs méthodes aussi, le plus simple serait de donner le calcul.
bonne journée. -
La réponse de Poirot m'intrigue Si f [0,1] --->[0,1] est une bijection et g [2,3] --->[2,3] est une bijection, est ce que gof est bien définie sur [0,1] avant de parler d'une bijection
edit c'est pour dire que la question est trop vague et on sent les pièges venirLe 😄 Farceur -
Bonjour cc
Si un jury pose une question vague comme
"Que peut-on dire de la composée de deux fonctions bijectives"
Quels sont les pièges à éviter ?
[Gebrane évite d'ouvrir une discussion déjà ouverte ! :-X AD]Le 😄 Farceur -
J'ai envie de dire que la seule chose qu'on peut en dire c'est que c'est une fonction bijective, et toutes les choses qui en découlent (elle est injective, surjective, elle a un inverse,...). En effet toute bijection est en particulier une composée de bijections donc on ne peut rien dire de plus.
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Quelle que soit la question, vague ou pas, le principal piège à éviter est : répondre par une énormité.
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La notion de bijection impose que l'on ait fixé une convention concernant les domaines et codomaines des applications en question (sinon comment parler de surjectivité ?) En particulier, si on compose deux bijections, il est sous-entendu (par l'usage du mot bijection) que le domaine de la seconde est égal au codomaine de la première, donc pas de souci, pas de piège.
Si le piège consiste à dire "haha ! beh non, parce que tu peux avoir une bijection $f:A\to B$ et une $g:C\to D$ avec $B\subset C$, alors la composée $g\circ f: A\to D$ n'est pas forcément une bijection", je répondrais qu'on n'a pas composé $g$ avec $f$ mais $g$ avec $i\circ f$ où $i:B\to C$ et l'inclusion, et là ce n'est plus dans le cadre de la question puisque $i\circ f$ n'est pas une bijection.
Si le jury maintient son erreur, pas grave, on corrige alors la question et on répond "c'est une injection, et on ne peut rien dire de plus". -
Disons un jury de CAPES ( ils sont chiants avec les détails)
Si maintenant, on définît bien les choses avec les jury et que ça donne : la composée de deux bijections est une bijection, ils vont répliquer aussitôt :
Que peux-t-on dire du sens indirect
Quels sont les pièges à éviter ?Le 😄 Farceur -
Bonjour,
j'ai eu cette question une fois, il s'agissait de g o f qui était bijective,
et j'avais dit (je crois ... je ne me rappelle pas de tout, l'oral s'était moyennement passé...)
sans me préoccuper de calculs ni des domaines j'avais dit que si g o f = id
nécessairement g était surjective, puisque id l'est
puis que f était injective puisque id l'est
ensuite
si on a f' o g' = id'
nécessairement g' était surjective et
f' était injective
et c'est peut être là mon énormité: j'ai dû dire quelque chose du genre "d'où f est bijective et g est bijective"
bref c'était pas bon. (et pourtant je sais que ce n'est pas bon, mais je parle souvent trop vite)
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Bonjour!
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