Dérivation d'une intégrale à paramètre

Halback · June 2019

Bonjour,

dans mon cours j'ai un théorème qui m'assure de la dérivabilité d'une intégrale à paramètre mais dans un exercice on me demande plus fort ($C^1$).

Soit $f$ définie de $J\times I \rightarrow \K$ où $I,J$ sont deux intervalles réels. Si :
1. $\forall a\in I, x\rightarrow f(x,a)$ est intégrable sur $J$.
2. Pour presque tout $x\in J$, $a\rightarrow f(x,a)$ est dérivable sur $I$.
3. $\exists{ }g$ intégrable sur $J$, $\forall a\in I$, $|f'_a(.,a)|\leq g$ presque partout.
alors $F : a \rightarrow \int_J f(x,a)dx$ est dérivable sur $I$ et $\forall b \in I, F'(b)=\int_Jf'_a(x,b)dx$

Y a-t-il une condition à ajouter pour m'assurer de la continuité de $F'$ ?
Ou dois-je ensuite utiliser le théorème de continuité d'une intégrale à paramètre sur $F'$ ?

Poirot · June 2019

Si $f$ vérifie les hypothèses du théorème de dérivation sous la signe intégrale, alors $\frac{\partial f}{\partial y}$ vérifie les hypothèses du théorème de continuité sous le signe intégrale.

Halback · June 2019

Merci,

pour le dernière question on me demande de calculer la limite en $+\infty$ de $F(t)=\int_{\R}cos(xt)e^{-x^2}dx$.

J'ai fait un changement de variable et introduit une suite $(t_n)$ de réels positifs qui diverge vers $+\infty$.
J'obtiens $F(t_n)=2\int_0^{+\infty}\frac{cos(u)e^{-x^2/t_n^2}}{t_n}du$ mais je n'arrive pas à justifier ensuite de l'interversion limite/intégrale.

side · June 2019

supp

side · June 2019

supp

Halback · June 2019

Bonjour, oui j'ai d'abord fait comme ça, de mémoire j'avais trouvé $\frac{F'(t)}{F(t)}=-\frac{t}{2}$ ce qui m'a permis de conclure mais ça ne ressemble pas aux exercices habituels qui portent quasiment tous sur l'application du théorème de convergence monotone ou celui de la convergence dominée. C'est pourquoi j'essaye avec, mais je n'arrive pas à dominer correctement les $f_n$.

Mais oui à la réflexion en regardant la question précédente la demande de $F'$ était sans doute là pour ça.

side · June 2019

supp

side · June 2019

supp

Halback · June 2019

Merci, je vais rester sur l'équation différentielle, je ne m'en sors pas autrement.

J'ai du mal avec l'application du théorème de convergence dominée d'une manière générale.
Quand on trouve une fonction dominante "facilement" ça va mais dans le cas contraire c'est infernal.

D'ailleurs il y a un point que je ne comprend pas du tout.
On insiste sur le fait que cette fonction dominante ne doit pas dépendre de $t$ mais dans pas mal de corrections, quand ça coince, on fixe un $a>0$ et on place $t$ dans $[0,a]$ (ou $[a,\infty[$ suivants les cas).
Comment on justifie ensuite que c'est vrai pour tout $t>0$ ?
Si je dis, par exemple, que pour tout $t>0, \exists a=t+1, t\in [0,a]$ pour réinvestir ce qui a été fait avant, mon $a$ dépend de $t$.

ptiteuclide · June 2019

> Quand on trouve une fonction dominante "facilement" ça va mais dans le cas contraire c'est infernal.

Cela peut signifier que la fonction dominante n'existe pas et qu'on ne peut donc pas appliquer les théorèmes du cours. Pour surmonter le problème, il faut souvent passer par des moyens assez détournés, sans qu'il y ait la moindre recette universelle. Ca peut en effet être infernal.

> On insiste sur le fait que cette fonction dominante ne doit pas dépendre de $t$
> mais dans pas mal de corrections, quand ça coince, on fixe un $a>0$ et on place $t$ dans $[0,a]$.

Ce type de raisonnement permet de montrer que l'intégrale dépendant d'un paramètre vérifie la propriété voulue (continuité, dérivabilité par exemple) sur tout intervalle $[0,a]$. La propriété est alors vérifiée sur $[0,+\infty[$.

Halback · June 2019

Cela s'applique aussi à la notion d'intégrabilité ?
$x\mapsto k\in\R$ est intégrable sur $[0,a],~\forall a>0$ donc elle est intégrable sur $[0,+\infty[$ ?
$x\mapsto \frac{1}{x^2}$ est intégrable sur $[a,+\infty[,~\forall a>0$ donc elle est intégrable sur $]0,+\infty[$ ?