Théorème de Stokes et d'Ostrogradski

Bonjour
Il m'est demandé de répondre à des questions concernant un champ de vecteur. Cependant, j'ai du mal à bien étudier et appliquer le théorème de Stokes et Ostrogradski. En effet, ces deux théorèmes restent un peu flou pour ma part.
Je me tourne donc vers vous pour me donner des pistes de compréhension.

Voici l'intitulé de l'exercice.
Soit le champ de vecteurs $$\overrightarrow{E}=y \overrightarrow{i} +x(1-2z) \overrightarrow{j} - xy \overrightarrow{k}.

$$ D’autre part on considère les deux surfaces suivantes dans $\R^3$ :
\begin{align*}
— S : &x^2 + y^2 + z^2 = r^2,\ z \geq 0 \\
— C : & x^2 + y^2 \leq r^2 \quad\text{et}\quad z = 0
\end{align*} $r$ étant un réel strictement positif.
Il m'est demandé de répondre aux questions suivantes.

$\bullet~$ Calculer la circulation du champs $\overrightarrow{E}$ le long de la frontière $\gamma $ de la surface $C$ orientée dans le sens trigonométrique.
Que pouvez-vous conclure sur le flux du rotationnel $\overrightarrow{Rot}(\overrightarrow{E})$ à travers de la surface $S$ ?

Pour calculer la circulation, j'applique le théorème de Stokes : $\int_C \overrightarrow{E}*\overrightarrow{dl} = \iint_C -2z\mathrm dS = 0.$
Puisque $z=0$
Le calcul vous semble-t-il correct et si oui, je n'arrive pas à conclure quant au flux du rotationnel. Pouvez-vous me donner des éléments de réponses ou alors des pistes pour pouvoir y répondre ?

$\bullet~$ En appliquant intelligemment le théorème d’Ostrogradski montrer que le flux du champs $\overrightarrow{E}$ à travers de la surface $S$ est nul.

Je ne vois pas comment le calculer. En effet nous savons que $div(E)=0$. J'arrive donc à un flux nul. Cependant je ne pense pas que ce calcul soit juste, ni optimal.
Avez-vous une piste à me donner ?

Je suis actuellement en 2ème année de prépa intégrée.
Je vous remercie par avance pour votre aide,
Alexia.