Dérivée de $x\sin(\pi/x)$

Steph_ntic · June 2019

Bonsoir,
en fait je n'arrive pas à comprendre le passage de $f' $à $f''$.
On a $f'(x) = \sin(\frac{\pi}{x}) - \frac{\pi}{x}\cos(\frac{\pi}{x}) \Rightarrow f''(x) = -\frac{\pi^2}{x^3} \sin(\frac{\pi}{x})$.

Je rappelle que c'est pour chercher le max pour $ \frac{1}{3} \leq x \leq 1 $.
Merci bien de m'éclairer.

Dom · June 2019

Bonjour,

Je trouve cela aussi.
Attention aux signes en dérivant...?
On a bien les deux termes $\cos(\frac{\pi}{x}) \times (-\frac{\pi}{x^2})$ et $- (-\cos(\frac{\pi}{x}) \times (\frac{\pi}{x^2}))$ qui s'annulent.

Cordialement

Dom

jean lismonde · June 2019

bonjour

je suppose que tu cherches le maximum pour x compris entre 1/3 et 1

de $f(x) = k + x.sin\frac{\pi}{x}$ fonction définie à une constante près k

ta dérivée première est en effet $f'(x) = sin\frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x}cos\frac{\pi}{x}$

la dérivée seconde est en fait : $f''(x) = \frac{\pi^2}{x^3}sin\frac{\pi}{x}$

pour 1/3 < x < 1 il vient $\pi < \frac{\pi}{x} < 3\pi$ et ta dérivée première s'annule 3 fois

il faudra déterminer pour chaque valeur le signe de $f''(x)$
de façon à voir s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum de $f(x)$

cordialement

Dom · June 2019

Bonjour,

Je trouve tout de même un "-" devant le sinus pour $f''$.
C'est un enchaînement de trois "-" :
le signe "-" présent dans l'expression de $f'$
le signe "-" présent dans $-1/x^2$
le signe "-" présent en dérivant $\cos$

Je trouve que la dérivée première ne s'annule que deux fois.

Cordialement

Dom

Steph_ntic · June 2019

jean lismonde écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1821584,1821594#msg-1821594
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Merci déjà pour ton intervention, je m'excuse de n'avoir pas donné assez de précision.
je travaille en analyse numérique et j'aimerais trouver une estimation de l'erreur au point $\frac{3}{4}$ pour une interpolation aux points 1 et $\frac{1}{3}$ La fonction est $ x \sin\frac{\pi}{x}$

La formule de l'estimation étant : $$
E_{1}(x=\frac{3}{4}) \leq\Big|(\frac{3}{4}-1)(\frac{3}{4}-\frac{1}{3})\Big|\frac{M_{2}}{2!}
$$ j'ai procédé à la détermination de $M_2$ pour trouver le max.
Ainsi je dérive deux fois la fonction ce qui me donne $f''(x) =\dfrac{\pi^2}{x^3}\sin\dfrac{\pi}{x}$ En admettant donc cette dérivée j'ai donc $ -\dfrac{\pi^{2}}{x^{3}}\leq -\dfrac{\pi^{2}}{x^{3}}\sin\dfrac{\pi}{x}\leq\dfrac{\pi^{2}}{x^{3}}$ pour $ \dfrac{1}{3}\leq x\leq1$ je détermine donc le max $-\dfrac{\pi^{2}}{x^{3}}\leq -\dfrac{\pi^{2}}{x^{3}}\sin\dfrac{\pi}{x}\leq\dfrac{\pi^{2}}{x^{3}}\leq27\pi^{2}$ d'où $M_2 = 27\pi^{2}$ en remplaçant donc dans la formule je trouve mon estimation.

Mon problème est le passage de la dérivée première à la dérivée seconde.