EDP, séparation de variables

Bonjour.
Je dois résoudre une EDP de ce type : $v_t+v_{xxxx}=0$ pour $(t,x)\in (0,T)\times (0,L)$ avec comme conditions
$v(t,0)=v_x(t,0)=0=v(t,L)=v_x(t,L)=0$ et $v(x,0)=v_0(x)$.
J'ai posé $v(t,x)=\phi(t)u(x)$.
Après avoir remplacé ce $v$ dans l'EDP, j'arrive donc à un problème de valeurs propres et fonctions propres.
J'ai $\phi(t)=\phi_0e^{-\lambda t}$ et il me faut chercher les $\lambda$ tels que $u_{xxxx}=\lambda u$.
Je vous passe les détails, je pose $\lambda = \mu ^4$ et donc ma solution générale pour $u$ est $u(x)=A(\cosh(\mu x)-\cos(\mu x))+B(\sinh(\mu x)- vsin(\mu x))$. (Je n'ai que $A$ et $B$ comme cstes parce que j'ai utilisé $u(0)=0$).
Sauf que là, je suis bloqué. J'arrive maintenant à un système linéaire pour avoir $A$ et $B$. $$
M=\begin{pmatrix}
\cosh(\mu L)-vcos(\mu L)&\sinh(\mu L)- vsin(\mu L)\\
\sinh(\mu L)+vsin(\mu L)&\cosh(\mu L)-\cos(\mu L)\end{pmatrix}.

$$ Je ne sais plus quoi faire.
J'ai trouvé numériquement la valeur $\mu$ pour que le déterminant de $M$ soit nul, mais à vrai dire, je ne sais pas à quoi ça peut me servir ?