Intégrale avec des nombres complexes
Bonjour, je cherche à calculer : $$
\int_0^{+\infty}e^{-(x-\frac{i}{2})^2}dx .
$$ J'ai fait le changement de variable (licite ?) : $ u=x-i/2$, $du = dx$ mais que deviennent les bornes de l'intégrale, sachant qu'à la fin je veux prendre la partie réelle de tout ça...?
PS c'est pour calculer l'intégrale : $$\int_0^{+\infty} \cos(x) e^{-x^2}dx $$
\int_0^{+\infty}e^{-(x-\frac{i}{2})^2}dx .
$$ J'ai fait le changement de variable (licite ?) : $ u=x-i/2$, $du = dx$ mais que deviennent les bornes de l'intégrale, sachant qu'à la fin je veux prendre la partie réelle de tout ça...?
PS c'est pour calculer l'intégrale : $$\int_0^{+\infty} \cos(x) e^{-x^2}dx $$
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Réponses
Oui j'ai vu ce post, je voulais essayer de calculer l'intégrale directement en passant par les complexes et l'intégrale de Gauss (un peu à la façon dont on peut calculer l'intégrale de Fresnel) ...mai peut être est-ce très difficile (enfin pour moi) .
"sauf si c'est pour un calcul d'intégrale dans un cours de physique ": ça veut dire quoi ça ? 8-)
Donc dans les bornes de l'intégrale, on "zappe" la partie imaginaire et on intègrerait de $0$ à $+\infty$ ?
.
...*5 min plus tard* :Ah ouais ça marche en plus !! fichtre c'est à n'y rien comprendre...on obtient bien $\sqrt{\pi}/2*1/^4\sqrt{e}$
on commence par développer $-(x-\frac{i}{2})^2$ et on obtient :
$$e^{1/4}\int_0^{+\infty}e^{-x²}e^{ix}dx$$
or $\int_0^{+\infty}e^{-x²}e^{ix}dx$ est à un coefficient $1/2$ près égale à la transformée de Fourier de $e^{-x²}$ évaluée en $-1$... etc.
effectivement je suis allé un peu vite... ::o
Néanmoins on peut s'en sortir avec la transformée de Fourier :
on a : $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x²}e^{-ix}dx$ est la transformée de Fourier de $e^{-x²}$ évaluée en 1 et vaut $\sqrt \pi e^{-1/4}$
d'un autre côté $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x²}e^{-ix}dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x²}cos(x)dx -i\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x²}sin(x)dx$$.
La dernière intégrale vaut $0$ car $sin$ est une fonction impaire tandis que $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x²}cos(x)dx = 2\int_{0}^{\infty}e^{-x²}cos(x)dx$ car $cos$ est une fonction paire.
Pour finir on obtient bien $\int_{0}^{\infty}e^{-x²}cos(x)dx=\frac{\sqrt \pi}{2} e^{-1/4}$.
Voir ici pour vérif
Et peut-on calculer $$\int_0^{+\infty} \sin(x) e^{-x^2}dx
$$ de la même façon ??
Wolfram donne $F(1/2)$ avec $F$ : intégrale de Dawson...ça ne me dit rien du tout !
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+exp(-x%C2%B2)*sin(x),+x%3D0..infty
en tout cas pas sûr qu'on puisse s'en sortir avec la TF...!
Et j'ai essayé avec l'équation différentielle, ça devrait marcher mais on se retrouve avec un second membre.
\int_0^{+\infty} \sin(x) e^{-x^2}dx=e^{-1/4}\int_0^{1/2}e^{x^2}dx.$$