Intégrales
dans Analyse
Bonjour à tous, je ne parviens pas à déterminer si les intégrales suivantes existent. J'aimerais une preuve sans utiliser les séries. En effet cet exercice faisait partie d'un examen dont l'esprit n'était pas l'utilisation de ces dernières.. Voila les bêtes et merci d'avance. $$
\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \sin\big(\sin(x)\big)dx } \quad\text{et}\quad
\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin\big(\sin(x)\big) }{ x } dx }
$$ Bonne journée.
\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \sin\big(\sin(x)\big)dx } \quad\text{et}\quad
\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin\big(\sin(x)\big) }{ x } dx }
$$ Bonne journée.
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Réponses
Merci d'avance.
Pour la seconde partie je cherche et je vous fait signe si je bloque .
Merci d'avance.
Pour la deuxième, j'ai essayé aussi une IPP, un changement de variables, sans succès...une idée quelqu'un ?
Ensuite coupe au milieu l'intégrale entre $0$ et $2\pi$, fais un changement de variable et utilise $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$.
Bon, je ne suis pas allé jusqu'au bout du calcul (peut-on intervertir série et intégrale ? oui, car ça converge normalement sur $[0;2\pi]$ mais j'ai un tourment en $x=0$ quand $p=0$) mais le terme général de la série est équivalent à $1/4{\pi}p^2$ donc la série converge a priori...du moins je m'en convainc :-)
En coupant en deux avec un changement de variables, on a
$u_n=\pi \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin(\sin(t))}{t(t+\pi)}\ dt$.
La majoration $|u_n|\le\frac1{2n(2n+1)}$ montre que la série de terme général $u_n$ converge absolument quand $n$ tend vers l'infini.
Comme l'intégrale est faussement impropre en $0$ (à faire), on obtient l'existence d'une limite pour
$\int_0^{2n\pi} \frac{\sin(\sin(t))}{t}\ dt$ quand $n$ tend vers l'infini.
Comme la fonction $\frac{\sin(\sin(t))}{t}$ a une limite nulle en l'infini, cela suffit à établir la convergence de l'intégrale impropre.
@side : oui en effet c'était bien mon intention mais l'intégrale me gênait !
Si on introduit la fonction $f:t\mapsto \sin(\sin(t))$ et $F:t\mapsto \int_0^t \sin(\sin(u))du$ sa primitive s'annulant en 0 alors $t\mapsto F(t+2\pi)-F(t)$ est de dérivée nulle donc constante, égale à $\int_0^{2\pi}\sin(\sin(u))du=0$ par périodicité et par imparité.
Par conséquent, $F$ est périodique et continue sur $\R$ donc bornée.
De plus, puisque $F$ est une primitive de $f$ et que $f(t)=t+o(t)$ au voisinage de 0, $F(t)=\frac{t^2}{2}+o(t^2)$.
Ainsi, par intégration par parties, \[\int_0^{+\infty}\frac{\sin(\sin(t))}{t}dt = \left[\frac{F(t)}{t}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}\frac{F(t)}{t^2}dt\] la derniére intégrale étant absolument convergente car son intégrande est prolongeable en une fonction continue sur $\R^+$ et est un $O \left(\frac{1}{t^2}\right)$ au voisinage de $+\infty$.
@AD et modérateurs : mais depuis quand existe ce forum ???:-D::o
archéologie
Pris en flagrant délit de non lecture de la charte http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,346997
AD :-D
Ce forum a 18 ans donc, pas mal 8-)
Qu'est devenu ce Manu ?? on ne le vois plus guère...