Lemme de sortie de tout compact

C'est dans le Demailly. Un énoncé qui ressemble à ça :

Demailly (approximativement...) a écrit:

Soient $\Omega \subset \R^{n+1}$ un ouvert $f: \Omega \to \R^n$ une application continue et soit $x : ]a,b[ \to \R^n$une solution de l'équation différentielle $x'(t)=f(t,x(t))$.
Alors $x$ est une solution maximale si et seulement si $\{(t, x(t))\,t\in ]a,b[\}$ s'échappe de tout compact $K$ de $\Omega$ quand $t\to a$ et quand $t\to b$, ce qui est équivalent à
\[
\lim_{t\to a}(|t|+||x(t)||+ d((t,x(t)), \partial \Omega)^{-1})= \infty= \lim_{t\to ba}(|t|+||x(t)||+ d((t,x(t)), \partial \Omega)^{-1}).
\]

Il doit être dans le chapitre "Equations différentielles, résultats fondamentaux", ou un truc du genre, pas très longtemps après le théorème d'existence des solutions (et avant Cauchy-Lipschitz, il me semble qu'on n'a pas besoin de l'unicité des solutions mais seulement de l'existence, pour laquelle la continuité est suffisante).
Mais effectivement, je ne crois pas qu'il le désigne comme "lemme de sortie de tout compact", ni d'ailleurs comme "théorème des bouts".

EDIT : et ce n'est pas une généralisation de Cauchy-Lipschitz qui est un résultat d'existence et d'unicité des solutions. Le lemme de sortie des compacts dit qu'une solution est bornée est si et seulement si elle est définie sur $\R$ tout entier. EDIT : c'était n'importe quoi.

En effet, l'interprétation donnée par omega n'est pas correcte. Le théorème de sortie de tout compact dit plutôt que (sous les bonnes hypothèses) si une solution maximale n'est pas globale alors elle explose au bord de son intervalle de définition (ça peut être juste d'un côté où les deux).

L'énoncé se trouve très certainement dans le récent livre d'équations différentielles de Florent Berthelin chez Cassini. Il y a une faute dans la version donnée dans le pdf de Dom, il faut lire "si $\beta \not = \sup J$" et "si $\alpha \not = \inf J$".

@ omega : effectivement dans ce cas l'équation est complète.

Le théorème des bouts est assez intuitif. Si $f$ satisfait les hypothèses de Cauchy-Lipschitz sur $]a,b[\times \Omega$ et si la solution n'est pas définie jusqu'à $b$, c'est que la solution va avoir tendance à sortir de $\Omega$. Elle n'en sort pas n'importe comment car les bouts de la solution, qui sont les valeurs d'adhérence de $(x,y(x))$ lorsque $x$ s'approche d'un bord, sont inclus dans la frontière de $]a,b[\times \Omega$, qui va être vide si par exemple $]a,b[\times \Omega=\R \times \R^n$. Et effectivement dans ce cas, la solution va sortir de tout compact de $\R^n$ au voisinage d'un de ses bords si elle ne va pas jusqu'au bout. Le théorème des bouts nous apprend aussi que si $y'$ est bornée au voisinage d'un bord qui ne serait ni $a$ ni $b$, alors le bout correspondant est réduit à un singleton, ce qui entraîne qu'en ce point la solution a une limite (qui va être du coup dans la frontière de $\Omega$) ; situation qui ne peut pas arriver lorsque $]a,b[\times \Omega=\R \times \R^n$ (dans ce cas, $y'$ localement bornée implique que les solutions maximales sont définies sur $\R$). Par Gronwall on peut ensuite ramener plusieurs situations à ce cas (par exemple $\|f(x,y)\| \leq C_1(K) \|y\|+C_2(K)$ pour tout compact $K$, avec $(x,y)\in K \times \Omega$. Il y a même des versions plus générales, un théorème classique figure par exemple dans le Zuili-Quéffelec si j'ai bonne mémoire de mon année de préparation de l'agreg.