Ordre développements limités ?

Je ne crois pas qu’il faille répondre à ta première question « quel est l’ordre suffisant ?».
On commence par attaquer avec des ordres « grands » (déjà avec 5 c’est pas mal même si je n’aurais pas tu te donner cette valeur « cinq ») puis on regarde... je crois que c’est formateur.

Que signifie $g(x)=o(f(x))$ au voisinage du réel $a$ ?

Remarque : On a considéré deux fonctions $f$ et $g$ définies au voisinage de $a$.

Cela signifie qu’il existe une fonction $\varepsilon$ définie au voisinage de $a$ telle que :
-sur ce voisinage : $ g(x)=\varepsilon (x) \times f(x)$
-$\varepsilon (x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$

Remarque : si le quotient est possible, on a $\frac{g}{f}$ tend vers $0$ au voisinage de $a$.

Dans un premier temps, remplacer ces $o$ par des $\varepsilon$ simplifie grandement les choses.
Ensuite, la pratique et la fainéantise font utiliser la notation de Landau.

Les opérations possibles ? Toutes celles que l’on connaît.
Si deux fonctions tendent vers $0$ en $a$ alors la somme et le produit tendent vers $0$ en $a$.
Rien de très sorcier. En écrivant les choses avec des $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, etc., ça va tout seul.

Juste pour dire que la fonction du post de départ est méromorphe : c'est le quotient de deux fonctions analytiques sur un disque complexe contenant $0$, donc les développements limités permettent forcément de trouver la limite si elle existe (dans le cas contraire $x=0$ est un pôle et la limite est $\pm \infty$)

l'ordre du DL nécessaire on ne le connait pas à l'avance, on sait juste qu'il existe : avec un DL on trouve l'ordre du zéro du numérateur, pareil pour le dénominateur, et là seulement on trouve la limite.

bonsoir,
en fait au départ je voyais un ordre, 4 puis je me suis ravise vers un ordre 7... (mais j'étais un peu fatigué ce matin bref ça n'excuse rien...) en tout cas je me suis emmêlé les pinceaux... désolé (la première intuition était bonne , puis j'ai "vu" trop vite un une puissance de 2 à la puissance 3...) bref je rejoins mathcoss quant à la correction (et j'avoue déjà répondre trop vite car je n'ai fait que lire en diagonale comme d'hab...)

l'explication sur ce genre quotient c'est le dénominateur qui prime surtout, il faut aller au minimum à l'ordre 4 a priori
voir ce que mathcoss dit.

Bonjour,

Un petit coup de l'Hospital ne suffirait il pas ? (je n'ai pas essayé).

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,

Bah, il suffit de $3$ dérivations.

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,

On dérive le numérateur et on ne garde que le numérateur du résultat: $N_1(x) = 4x\cos(2x)\sin(2x) - 4\cos(x) - 4\sin(x) - 4x + 4\cos(2x)\sin(2x)\cos(x) + 4$.
Alors $N_1(0)=0$.
On re-dérive : $N_2(x) = 4\sin(x) - 4\cos(x) + 8x\cos(2x)^2 - 8x\sin(2x)^2 + 8\cos(2x)^2\cos(x)$
$ + 4\cos(2x)\sin(2x) - 8\sin(2x)^2\cos(x) - 4\cos(2x)\sin(2x)\sin(x) - 4$.
Alors $N_2(0)=0$.
On re-dérive: $N_3(x) = 4\cos(x) + 4\sin(x) + 16\cos(2x)^2 - 16\sin(2x)^2 - 16\cos(2x)^2\sin(x)$
$ + 16\sin(2x)^2\sin(x) - 64x\cos(2x)\sin(2x) - 68\cos(2x)\sin(2x)\cos(x)$.
Alors $N_3(0)=20 \neq 0$.
Le dénominateur étant équivalent à $8x^4$, sa dérivée troisième s'annule en $0$.
D'où le résultat: $\infty$.

Cordialement,

Rescassol

@EricBruno : il suffit d'écrire entre dollars les expressions mathématiques, il s'agit de LaTeX.

Par exemple

\frac{10}{3} x^3+o(x^3)

donne $\frac{10}3x^3+o(x^3)$.

Pour savoir comment écrire certains symboles, le mieux est de faire Clic droit sur une partie de message en LaTeX, puis Show Maths As TeX commands.