Ordre développements limités ?
Bonjour à tous.
Exercice: Trouver la limite si elle existe de : (Voir la photo attachée au message)
Je voudrais savoir s'il vous plaît,
1 - Quel ordre choisir pour le calcul d'une limite comme l'exemple en photo ci-joint ?
2 - Quel est l'influence "petit o" dans les calculs ? (Quelles sont les opérations possibles avec "petit o"?)
Merci!
Exercice: Trouver la limite si elle existe de : (Voir la photo attachée au message)
Je voudrais savoir s'il vous plaît,
1 - Quel ordre choisir pour le calcul d'une limite comme l'exemple en photo ci-joint ?
2 - Quel est l'influence "petit o" dans les calculs ? (Quelles sont les opérations possibles avec "petit o"?)
Merci!
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Réponses
1-au minimum de l'ordre 4 à cause du dénominateur qui est au minimum EDIT d'ordre 7
2- des petit o de même ordre ajoutés ou soustraits reste du même ordre, multipliés les ordre s'ajoutent et ... je n'en dirai pas plus
bonne journée
On commence par attaquer avec des ordres « grands » (déjà avec 5 c’est pas mal même si je n’aurais pas tu te donner cette valeur « cinq ») puis on regarde... je crois que c’est formateur.
Que signifie $g(x)=o(f(x))$ au voisinage du réel $a$ ?
Remarque : On a considéré deux fonctions $f$ et $g$ définies au voisinage de $a$.
Cela signifie qu’il existe une fonction $\varepsilon$ définie au voisinage de $a$ telle que :
-sur ce voisinage : $ g(x)=\varepsilon (x) \times f(x)$
-$\varepsilon (x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$
Remarque : si le quotient est possible, on a $\frac{g}{f}$ tend vers $0$ au voisinage de $a$.
Dans un premier temps, remplacer ces $o$ par des $\varepsilon$ simplifie grandement les choses.
Ensuite, la pratique et la fainéantise font utiliser la notation de Landau.
Les opérations possibles ? Toutes celles que l’on connaît.
Si deux fonctions tendent vers $0$ en $a$ alors la somme et le produit tendent vers $0$ en $a$.
Rien de très sorcier. En écrivant les choses avec des $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, etc., ça va tout seul.
PS: Comment faites vous pour saisir les caractères spéciaux mathématiques ici dans le forum?
Merci
Le problème est de trouver un équivalent du numérateur et un équivalent du dénominateur. Au dénominateur, un équivalent de $\arcsin^3(2x+x^2)$ est $(2x)^3=8x^3$ (pourquoi ?) donc le dénominateur est équivalent à $8x^4$. Au pire, il suffit d'aller à l'ordre $4$ au numérateur.
Au numérateur, on s'aperçoit que le terme d'ordre $3$ n'est pas nul. Il suffit donc d'aller à l'ordre $3$.
PS : voici ce que j'ai tapé pour le deuxième paragraphe.
l'ordre du DL nécessaire on ne le connait pas à l'avance, on sait juste qu'il existe : avec un DL on trouve l'ordre du zéro du numérateur, pareil pour le dénominateur, et là seulement on trouve la limite.
Clique droit sur un des beaux textes, Show Math As, TeX commande, copier.
Puis écrire un dollar, coller, écrire un dernier dollar.
Pour les $o$ :
Je réitère : écrire avec les epsilon et voir ce qui se passe.
Par exemple, au voisinage de $0$ : soient $f,g,h,k$ quatre fonctions définies au voisinage de $0$.
Si $f=o(g)$ et si $h=o(k)$.
A-t-on : $f+g=o(g+k)$ ?
A démontrer ou bien à nier.
en fait au départ je voyais un ordre, 4 puis je me suis ravise vers un ordre 7... (mais j'étais un peu fatigué ce matin bref ça n'excuse rien...) en tout cas je me suis emmêlé les pinceaux... désolé (la première intuition était bonne , puis j'ai "vu" trop vite un une puissance de 2 à la puissance 3...) bref je rejoins mathcoss quant à la correction (et j'avoue déjà répondre trop vite car je n'ai fait que lire en diagonale comme d'hab...)
l'explication sur ce genre quotient c'est le dénominateur qui prime surtout, il faut aller au minimum à l'ordre 4 a priori
voir ce que mathcoss dit.
je le nie! et je te dis ça dans un moment... si on ne grille pas d'ici là, mais là je dois bouger faire des trucs.
Un petit coup de l'Hospital ne suffirait il pas ? (je n'ai pas essayé).
Cordialement,
Rescassol
@ Dom
c'est un peu capilotractré mais pas faux je crois :
(1) $ \sin(x)-x=\frac{x^3}{6}+ o(x^4)$ et (2) $x=x+o(x^3)$
(1)+(2) donne $\sin(x)-x+x=x+o(x^2)$
Bah, il suffit de $3$ dérivations.
Cordialement,
Rescassol
en fait si on a une valeur finie je veux bien mais c'est risqué je trouve.
bonne soirée
Merci déjà pour toutes les réactions au sujet.
Je voudrais juste préciser que je manque d’expérience et donc sans rédaction avec la précision de l’ordre choisi je ne comprends pas pourquoi arcsin^3(2x+x^2)
est un équivalent de (2x)^3=8x^3 (Quel est le rang du DL ?
Est-ce admis de développer les termes d’une même limite à des rangs différents ? )
Comment sait-on que le terme d’ordre 3 au numérateur est non nul ?
Salut Reuns !
Je suis étudiant en première année et # méromorphe # je ne sais pas ce que ça signifie, ni #Disque complexe contenant 0#
Salut callipiger !
J’ai oublié de préciser que l’énoncé impose d’utiliser les DL.
Rescassol : Pour dériver les fonctions composées ce n’est aussi court que ça !
si tu en es au DL tu as du voir les équivalents avant.
Math Coss a utilisé un équivalent : arcsin est la fonction réciproque de sin laquelle est équivalente à x en 0
donc arcsin est équivalente à x en 0 car l'inverse de 1 est 1 (où une autre façon de voir la fonction réciproque de $x\mapsto ax$ est la fonction $x\mapsto\frac{1}{a}x$ dès que a est non nul)
ensuite il s'agit d'une chaîne de compositions de DLs valant 0 en 0
On sait que c'est non nul après avoir fait le calcul... pas le choix.
On dérive le numérateur et on ne garde que le numérateur du résultat: $N_1(x) = 4x\cos(2x)\sin(2x) - 4\cos(x) - 4\sin(x) - 4x + 4\cos(2x)\sin(2x)\cos(x) + 4$.
Alors $N_1(0)=0$.
On re-dérive : $N_2(x) = 4\sin(x) - 4\cos(x) + 8x\cos(2x)^2 - 8x\sin(2x)^2 + 8\cos(2x)^2\cos(x)$
$ + 4\cos(2x)\sin(2x) - 8\sin(2x)^2\cos(x) - 4\cos(2x)\sin(2x)\sin(x) - 4$.
Alors $N_2(0)=0$.
On re-dérive: $N_3(x) = 4\cos(x) + 4\sin(x) + 16\cos(2x)^2 - 16\sin(2x)^2 - 16\cos(2x)^2\sin(x)$
$ + 16\sin(2x)^2\sin(x) - 64x\cos(2x)\sin(2x) - 68\cos(2x)\sin(2x)\cos(x)$.
Alors $N_3(0)=20 \neq 0$.
Le dénominateur étant équivalent à $8x^4$, sa dérivée troisième s'annule en $0$.
D'où le résultat: $\infty$.
Cordialement,
Rescassol
N(x)&=4\ln\Bigl(1+x-\frac{x^2}2+o(x^3)\Bigr)+\bigl(2x+O(x^3)\bigr)^2-4x\\
&=4x-2x^2+o(x^3)-2\Bigl(x-\frac{x^2}2+o(x^3)\Bigr)^2+\frac43x^3+o(x^3)+4x^2+o(x^3)-4x\\
&=\frac{10}3x^3+o(x^3).\end{align*}
Rescassol Merci à toi également.
Il est vrai que dans certains exercices le prof exige l’utilisation des DL mais là tu as banalisé mon exercice en 5 lignes.
Merci !!
Je ne savais pas qu’il est permis de mélanger les techniques (Dériver au numérateur et dériver l’équivalent du dénominateur)
Ma question reste celle de savoir les opérations entre les petits o. par exemple
o(x^2)+o(4x^2-2)=?
o(2x^4).o(3x-5x^3)=?
o(x^3)/o(4x^2-2)=?
Aussi, je n'ai pas compris comment écrire les symbole mathématiques ici. J'écris mais ça affiche l'original que j'ai saisi
Ligne2. Entre la ligne 2 et la ligne 3 il y a du developpement de (x-x^2/2+o(x^3))^2 comment tu developpes cela pour avoir juste o(x^3) sur la ligne 3 ?
Comment faites vous pour que ça s'affiche en caractères Mathématiques. J'ai repassé mon menu qui a 21 boutons et je ne trouve rien du tout.
Merci
Par exemple
donne $\frac{10}3x^3+o(x^3)$.
Pour savoir comment écrire certains symboles, le mieux est de faire Clic droit sur une partie de message en LaTeX, puis Show Maths As TeX commands.
Poirot Je te remercie pour la précision.
Entre temps j'ai lu sur wikipedia et compris que Latex est un langage d’interprétation comme le HTML cependant dédié aux expressions mathématiques, il est donc nécessaire sa syntaxe pour savoir baliser les expressions pour les sites comme celui-ci qui le supporte ou d'autres logiciels directement installés sur un Pc (muni d'un framework).
Je ne sais pas pourquoi je ne suis pas tombé dans ce forum plus tôt mais en tous cas merci à tous.