Gaussienne dans $\R^n$

Bonjour,

merci.

Dans la question suivante :

4. Soit $f$ dans $L^p(\R^n)$. Montrer que $G_\epsilon * f$ définit une fonction de $L^p(\R^n)$ bornée et uniformément continue.

Pour justifier que $G_\epsilon * f$ est bien définie j'ai séparé les cas $p=1$ et $p>1$:

Si $p=1, |\int_{\R^N}G_\epsilon(x-t)f(t)dt|\leq G_\epsilon(0)||f||_1<+\infty$.
Si $p>1$, soit $q$ le conjugué de $p$, par Hölder on a $||G_\epsilon f||_1\leq ||G_\epsilon||_q||f||_p <+\infty$ avec $||G_\epsilon ||_q=(\frac{1}{q(2\pi \epsilon)^{(q-1)}})^{N/2q}$ donc $|\int_{\R^N}G_\epsilon(x-t)f(t)dt|<+\infty$ presque partout.

Par Young, on a $||G_\epsilon*f||_p\leq ||G_\epsilon||_1||f||_p <+\infty$ donc $G_\epsilon*f$ est bien dans $L^p(\R^n)$.

Par Young, on a $||G_\epsilon*f||_\infty \leq ||G_\epsilon||_q||f||_p <+\infty$ donc $G_\epsilon*f$ est bornée.

En espérant que ça soit juste. Il doit y avoir plus simple. Je ne suis pas sûr que le calcul de $||G_\epsilon ||_q$ était attendu.