Intégrale nulle

arthurserres · June 2019

Bonjour à tous, pour démontrer l'inégalité de Hölder pour des fonctions Riemann sur un ensemble $E$ quelconque, j'ai besoin d'exclure le premier cas à savoir celui ou $\int _{ E }{ |f|^{ p } }=0 $ (resp $\int _{ E }{ |g|^{ q } }=0 $). Cependant je n'arrive pas à montrer que dans cette situation on aura nécessairement $\int _{ E }{ fg}=0$. Les fonctions n'étant pas continues et n'ayant aucune caractérisation sur les fonctions dont l'intégrale est nulle je ne parviens pas à conclure... Merci d'avance.

PS: A priori $E$ n'est pas mesurable au sens de Jordan.

gebrane · June 2019

Bonjour
C'est quoi au juste une fonction Riemann sur un ensemble E quelconque
Peux-tu énoncer clairement la proposition que tu veux démontrer ( hypothèses+conclusion)

arthurserres · June 2019

Voila la question que je voudrais résoudre, la partie 2 exactement.
Je n'arrive pas a traiter le cas ou $\int _{ E }{ |f|^{ p }=0 } $.
Merci d'avance. 87624

gebrane · June 2019

Je crois comprendre ton souci. Ce sont les complications de la théorie de Riemann
Si f est positive d’intégrale de Riemann nulle, qu'est ce qu'on peut dire sur f ?
Il y a une caractérisation qui dit ; f (bornée) est intégrable au sens de Riemann
si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité est négligeable

De mémoire sauf oubli

Si f est positive d’intégrale de Riemann nulle, alors f est nulle sauf en ses points de discontinuité ( qui est négligeable)

Si f est nulle sauf en ses points de discontinuité , alors son intégrale de Riemann est nulle

arthurserres · June 2019

Le problème étant que L'ensemble E n'est a priori pas mesurable au sens de Riemann donc je ne vois pas comment montrer que l'ensemble des points ou f est non nulle est négligeable (car dans mon cours cela présume que ce dernier ensemble est mesurable). Aussi je connais seulement l'implication "$E$ mesurable au sens de Riemann et les points de discontinuité de f négligeable $\Rightarrow $ f intégrable sur $E$"...
Cela me paraît bien compliqué je penses que je vais attendre la théorie de Lebesgue qui doit régler ca. Mais ca sera l'année prochaine...
Bonne journée.

gebrane · June 2019

C'est du jamais vu, un ensemble mesurable au sens de Riemann
Voudrais-tu dire mesurable au sens de Jordan. Est ce que tu suis ce cours https://www.math.univ-toulouse.fr/~jroyer/TD/2018-19-L2PS/ChB-Jordan.pdf

Math Coss · June 2019

Arthur, est-ce que tu disposes d'une théorie conséquente de l'intégrale de Riemann en dimension quelconque ? Par exemple, est-ce qu'on t'a démontré proprement le théorème de Fubini ?

Je soupçonne que la propriété que tu veux démontrer sera admise pendant la correction. En effet, avec pour seule hypothèse « $E$ borné », la fonction $f$ constante égale à $1$ sur $E$ n'est pas toujours intégrable au sens de Riemann (même en dimension $1$) donc il y a des hypothèses implicites ($E$ pavable).

arthurserres · June 2019

Oui bien sur c'est une errata... C'est bel et bien mesurable au sens de Jordan.
Non je ne suis pas ce cours.
Je suis un cours d'analyse II, qui développe de façon importante la théorie d'intégration de Riemann en particulier j'ai bien démontré proprement le théorème de Fubini et d'autres résultats importants sur la mesure des ensembles bornés. Je comprends bien votre remarque et c'est pour cela que je trouve le résultat encore plus difficile a montrer (bien que je ne suis pas capable de le prouver même avec cette hypothèse implicite). Mais on peut imaginer des fonctions qui sont intégrables au sens de Riemann sur des ensembles qui ne sont eux pas mesurables au sens de Jordan... Le premier exemple (stupide) est celui de la fonction nulle. Pour garder la généralité et vu que cette hypothèse ne se trouve pas dans mon énoncé je me demandais si on pouvait faire la preuve sans cette dernière.

gebrane · June 2019

arthurserres ecrivait a écrit:

cette hypothèse ne se trouve pas dans mon énoncé

On peut la récupérer de la façon suivante. Puisque E est borné, on le plonge dans un pavé P ( E$\subset $P) et on prolonge f par 0 sur P/E
La question qui se pose: si f est positive d’intégrale nulle sur un pavé P de $\R^n$ alors f est nulle sauf sur un ensemble négligeable.?

Malheureusement, je n'ai pas de référence sous la main

Intégrale nulle

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