EDO : implicite contre explicite

Stabilité oblige !!

En général les schémas explicites ne sont pas stables

Bonsoir

Je rejoins l'avis de gebrane. Pour certaines EDO, les méthodes explicites sont "instables" dans le sens où le pas de temps de la discrétisation est "anormalement" petit (ce qui dépend en fait des capacités de calcul).
Un exemple très simple est l'EDO $y'=-150y+30$, $y(0)=1/5$ dont la solution est $1/5$.
En théorie une petit pertubation de $y(0)$, disons $1/5+\varepsilon$ entraîne une petite pertubation de la solution.
Malheureusement pour $\varepsilon=10^{-4}$ et un pas de discrétisation $>1/70$, des oscillations apparaissent pour la méthode d'Euler explicite. C'est moche. Alors que pour la méthode d'Euler implicite il n'y a pas d'oscillation.

Il y a aussi l'exemple classique de cinétique chimie, modèle de Robertson
https://w3.ens-rennes.fr/math/OrauxBlancs/TextesPremiereSessionBeaulieu2009/robertson.pdf

Au final c'est une question d'équilibre entre coûts de calcul et précision. Cette différence de comportement entre explicite/implicite est importante pour les EDO et prépare le terrain pour les EDP (et là on ne peut y échapper).

Si le pb est non raide, on choisit une méthode explicite. L'important est de rester critique et de savoir que des oscillations/explosions peuvent être dues à la méthode numérique choisie.