Équivalent d'une racine

supp

L'équation $x^n = \prod_{j=0}^{n-1} (x-j)$ donne envie de regarder $|x^n| = \prod_{j=0}^{n-1} |x-j|$

et $n \log x =\int_0^n \log|x-t|dt = \int_0^x \log|t|dt+ \int_0^{n-x} \log |t|dt = x (\log x - 1)-(n-x) (\log (n-x) - 1)$

donc $(n-x) (\log x + \log(n-x)) = n-2x$

Si $\log n-x$ est beaucoup plus grand que $\log x$ ça donne $(n-x) \log (n-x) \approx n$ donc $n-x \approx \frac{n}{\log n}$ contradiction, si $\log (n-x) \sim C \log x$ alors ça donne $n-x \approx \frac{n-2x}{C \log (n-2x)}$

Cela pourrait bien être un simple problème de traduction (mais je ne sais pas dire mieux).

Je ne lis pas l’anglais.
Mais j’y devine juste une coquille dans la question : un $y_n$ derrière « root of » qui devrait être plutôt $P_n$.
Cependant ça semble c'est clair comme énoncé, non ?

J'ai juste dit que si on se limite à $x$ réel alors au signe près l'équation de départ c'est $n \log x = \sum_{j=0}^{n-1} \log |x-j|$ qu'on a envie d'approximer par $n \log x= \int_0^n \log|x-t|dt$ qui donne $(n-x) (\log x + \log(n-x)) = n-2x$

Ici on pose $x = C_n n, C_n \in ]0,1[$ ce qui donne $(1-C_n) n (2\log n + \log C_n + \log (1-C_n)) = (1-2 C_n) n$

et $(1-C_n) (2\log n + \log C_n + \log (1-C_n)) = 1-2 C_n$

Si on suppose que $\log C_n + \log (1-C_n)$ est beaucoup plus petit que $2 \log n$ alors ça donne $(1-C_n) 2\log n \approx 1-2 C_n$ et $C_n = \frac{2 \log n - 1}{2\log n -2}= 1 + \frac{1}{2\log n -2}$ donc $\log(1-C_n) \approx \log \log n$ et $$

x \approx \Big(1 +\frac{1}{2\log n -2}\Big) n$$