Équivalent intégrales à paramètre

totem
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dans Analyse
Pour ceux qui ont encore faim !
1) Équivalent en 0 de $$ f(x)= \int_x^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t}dt. $$ Conjecture non démontrée : $f(x) \sim -\ln(x)$.

J'ai fait le changement de variables $u=\frac{t}{x}$ et $u=t-x$ mais cela n'a pas abouti...

2) Soit $$F(x) =\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^{x+1}+t+1} dt$$ pour $x>0 $
Montrer qu'en $+\infty$ , $F(x) \sim \frac{\ln(3)}{2x}$.

@ AD : on doit pouvoir fusionner tout ça avec un ancien topic mais pas retrouvé...

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    1) L'infini est là pour la galerie : comme l'intégrale est divergente (ou bien, comme $h:t\mapsto \mathrm{e}^{-t}/t$ n'est pas intégrable sur $\left]0,1\right]$), la limite de $f$ en $0$ est $+\infty$. On peut donc remplacer sans dommage $f(x)$ par $g(x)=\int_x^1h(t)\mathrm{d}t$, c'est-à-dire que $f(x)\sim g(x)$ au voisinage de $0$ (puisque la différence est la constante réelle $\int_1^{+\infty}h(t)\mathrm{d}t$).

    Ensuite, que se passe-t-il au voisinage de $0$ ? L'exponentielle est équivalente à $1$. On se dit donc que $g(x)$ doit ressembler à $k(t)=\int_x^1\frac{1}{t}\mathrm{d}t=-\ln t$. On forme la différence : \[g(x)-k(x)=\int_x^1\frac{\mathrm{e}^{-t}-1}{t}\mathrm{d}t.\] Comme la fonction intégrée se prolonge par continuité en $0$, elle est intégrable sur $[0,1]$ et donc la différence $g-k$ admet une limite finie en $0$. Il en résulte que $f(x)\sim-\ln x$.
  • totem
    totem
    @MathCoss : ok merci . Je cherchais encore d'invraisemblables convergences dominées...
  • Guego
    Guego
    Math Coss a déjà répondu pour le 1. Pour le 2, faire le changement de variable $u=t^x$. On se ramène à $\dfrac{1}{x} \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{u^{\frac{x+1}{x}}+u^{1/x}+1}\times \dfrac{1}{u}du$, et cette dernière intégrale converge (par convergence dominée) vers $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{(u+2)u}du = \dfrac{\ln(3)}{2}$. D'où le résultat.
  • totem
    totem
    @Guego : ok merci; la voilà laconvergence dominée tant attendue !:-D
  • side
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  • totem
    totem
    @Guego : quelle fonction utilises-tu pour la domination en effet ?
  • Guego
    Guego
    J'ai fait une erreur. En posant le changement de variable $u=t^x$, on se ramène plutôt à $\dfrac{1}{x} \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{u^{1/x}}{u^{\frac{x+1}{x}}+u^{1/x}+1}\times \dfrac{1}{u}du$. Pour tout $x>2$ et pour tout $u>1$, on a $u^{1/x}<\sqrt{u}$, et $\dfrac{1}{(u^{\frac{x+1}{x}}+u^{1/x}+1)u} < \dfrac{1}{(u+2)u}$. On domine donc par $\dfrac{\sqrt{u}}{(u+2)u} = \dfrac{1}{(u+2)\sqrt{u}}$ qui est indépendant de $x$ et intégrable sur $[1;+\infty[$.
    En espérant ne pas avoir fait de boulette cette fois ci.
  • totem
    totem
    Merci Guego . ;-) et pour $0<x<2$ ?

    Pour ma part j'ai écrit : $$(u^{\frac{x+1}{x}}+u^{\frac{1}{x}}+1)u = u^{\frac{1}{x}+2}+u^{\frac{1}{x}+1}+u > u^{\frac{1}{x}+2}+u^{\frac{1}{x}+1} .

    $$ Donc $$\frac{1}{u^{\frac{1}{x}+2}+u^{\frac{1}{x}+1}+u} < \frac{1}{u^{\frac{1}{x}+2}+u^{\frac{1}{x}+1}} .

    $$ Donc $$\frac{u^{\frac{1}{x}}}{u^{\frac{1}{x}+2}+u^{\frac{1}{x}+1}+u} < \frac{u^{\frac{1}{x}}}{u^{\frac{1}{x}+2}+u^{\frac{1}{x}+1}} =\frac{1}{u^2+u} .

    $$ Et $\frac{1}{u^2+u} $ est intégrable sur $[1;+\infty[$ ... c'est bon ça ?
  • totem
    totem
    Bonjour,
    on continue pour ceux qui veulent.
    1) Équivalent en $+\infty$ de $$

    f(x)=\int_{0}^{1} \frac {dt}{(1+t^2)^x}.

    $$ 2) Équivalent en $+\infty$ de $$

    g(x)=\int_{0}^{1} \frac {dt}{(1+t+t^2)^x}.


    $$ J'ai essayé des changements de variable ($u=t,\ u=t^2,\ u=1+t^2, \ u=t+t^2$) en vue d'une convergence dominée vu qu'on intègre sur un segment mais je tourne en rond ou c'est pire...
  • P.
    P.
    $f(x)=\int_0^1\frac{1}{(1+t^2)^x}dt\to _{x\to \infty} 0$ par convergence dominee... par 1.
  • totem
    totem
    @P:excuse-moi mais c'est quoi qui tend vers $0$ ?
  • P.
    P.
    Heuh,, merci, j'ai corrige.
  • Math Coss
    Math Coss
    On peut écrire les deux intégrales sous la forme $\int_0^1\mathrm{e}^{-x\phi(t)}\mathrm{d}t$.

    La première intégrale relève de la méthode de Laplace. En gros, ce qui compte, c'est le voisinage du point $0$, unique $t$ tel que $\phi'(t)=0$.

    La deuxième intégrale devrait être plus facile. En gros, tout est négligeable hors d'un voisinage du minimum $t=0$ et près de ce minimum, on peut remplacer $\phi(t)$ par $\phi(0)+t\phi'(0)$.
  • totem
    totem
    @P: oui donc...et alors ?

    @MathCoss: ok je suis largué 8-) mais je vais regarder quand même à tout hasard ton lien ; marrant j'aurais parié que la première était plus facile que la deuxième !!
  • totem
    totem
    $$f(x) = \int_{0}^{1} e^{-x\ln(1+t^2)}dt
    \qquad\text{et}\quad
    g(x) = \int_{0}^{1} e^{-x\ln(1+t+t^2)}dt.

    $$ Pour $g(x)$ on fait donc on fait un DL1 autour de 0 : $\phi(t)\sim t $ donc

    $$g(x) \sim \int_{0}^{1} e^{-xt}dt = \frac {1-e^{-x}}{x} \sim 1/x .



    $$ Pour $f(x)$ en effet je bloque car le DL1 fait $0$, je pense qu'il faut aller jusqu'au DL2...?

    Conjecture : $$f(x) \sim \frac{1}{2} \sqrt \frac {\pi}{x} .

    $$ Mise à jour : $\ln(1+t^2) \sim t^2$ => intégrale de Gauss et c'est plié.
    Géniale cette méthode de Laplace...
  • Math Coss
    Math Coss
    Les deux résultats sont très plausibles mais il faudrait des arguments (y compris pour le premier : le « donc » ne peut pas être considéré comme une démonstration).
  • totem
    totem
    Oui tu as raison, en fait c'est donc "à cause de la méthode de la Laplace" :-D (je viens juste de la découvrir) mais il manque sévèrement une convergence dominée je pense...

    Par contre sur la page Wiki il est noté que " le maximum ne doit pas être une des bornes de l'intégrale" ce qui semble être le cas ici pour la première intégrale ($x=0$) ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Si le maximum est atteint au bord, ça doit diviser le résultat par deux.
  • totem
    totem
    Bonjour,
    équivalent quand $x\to 1^+$ de $\quad\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1+t^x} . $
    J'ai écrit $\quad\displaystyle f(x) = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^x} + \int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{1+t^x}. $

    La première tend vers $\ln(2)$ par convergence dominée. Mais la deuxième me ramène au même problème...
    Impossible d'utiliser la convergence dominée puisque ça tend vers $+\infty$ (est-ce juste de dire cela ?)

    @AD: comment on fait pour décentrer ? :-X
    [Comme cela ? AD]

    @AD il faut mettre \quad\displaystyle sinon lesexpressions sont centrées ...enfin j'ai l'impression.
  • totem
    totem
    J'ai trouvé je crois ! et tout seul ! gerard0 tu peux être fier de...toi :-D

    Mais pour la méthode et la technique je remercie tout particulièrement Math Coss, P.,aléa et Poirot.

    Après une IPP et un découpage dominé ( à breveter ! ) j'obtiens $f(x) \sim_{1^+}\frac{1}{x-1} $

    Bonnes vacances !
  • gebrane
    gebrane
    Avec les détails ça donne quoi ?
    Le 😄 Farceur


  • side
    side
    supp
  • P.
    P.
    Ca manque de charme puisque $$\int_0^{\infty}\frac{dt}{1+t^x}=\frac{\pi}{x\sin (\pi/x)}.$$
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