Un peu de suites...

totem
totem
dans Analyse
Pour changer un peu, des suites ! Enfin je crois ??

1) Montrer que pour tout $n$ dans $N$, il existe un unique $a_n$ tel que $e^{a_n}+na_n = 2$

2) Nature des séries $\sum a_n$ et $\sum (-1)^na_n$.

PS. Je ne sais pas du tout comment démarrer ce genre d'exercice... !

Réponses

  • side
    side
    supp
  • Crapul
    Crapul
    Pour le 1), on peut étudier les fonctions $x \longmapsto e^x+nx$.

    edit : j'ai joué, j'ai perdu
  • Math Coss
    Math Coss
    Plan (on fixe un entier $n\ge1$) :
    1. (dérivabilité,) variations de la fonction $f_n:\R\to\R$, $x\mapsto \mathrm{e}^x+nx-2$ et limites en $\pm\infty$ ; conclusion : existence et unicité d'un unique réel $a_n$ tel que $f_n(a_n)=0$ ;
    2. $a_n>0$ (calculer $f_n(0)$) et $a_n<2/n$ (comparer $f_n(a_n)$ et $n{a_n}$) ;
    3. à toutes fins utiles, $a_{n+1}<a_n$ (comparer $f_{n+1}(x)$ et $f_n(x)$ pour tout $x$, puis $f_{n+1}(a_{n+1})$ et $f_{n}(a_{n+1})$) ;
    4. (on « défixe » $n$) $\lim_{n\to+\infty}a_n=0$ (évident, non ?) ;
    5. $a_n\sim1/n$ ; conclusions ?
  • side
    side
    supp
  • totem
    totem
    Oui bon déjà en effet, la première question est assez facile puisque o'on a une bijection de $\R$ dans $\R$ !

    Vocabulaire : s'agit-il d'une suite ? Si oui est-ce une suite récurrente "cachée" ?
  • lale
    lale
    En étudiant le tableau de variation de $f$, où $f(x)= \dfrac{2-e^x}{x} ,$ on obtient l'existence et l'unicité de $a_n$, le fait que $a_n$ est décroissante et tend vers 0. Or $f(\frac {1}{n \ln(n)})\geq n.$ D'où $a_n \geq \frac {1}{n\ln(n)}$.
    Ce qui permet de répondre à toutes les questions.
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