Sommes partielles à racines toutes réelles
Bonjour,
Si $f_N(x) = \sum_{n=0}^N c_n x^n$ est un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles et simples alors il existe $r=r(f_N)$ tel que pour tout $c_{N+1} \in ]-r,r[$, $\ \ f_{N+1}(x) = f_N(x)+c_{N+1} x^{N+1}$ est un polynôme dont toutes les racines sont réelles et simples.
$\quad$ [small](pour $c_{N+1}$ suffisamment petit, près de chaque zéro $a_{N,j}$ de $f_N$ on a que $f_{N+1}$ change de signe et $f_{N+1}'$ ne s'annule pas, donc on a $N$ zéros réels simples de $f_{N+1}$, son $N+1$-ème zéro doit donc être réel et simple. Peut-on estimer où est ce $N+1$ zéro, comment définir le $r(f_N)$ optimal, il se passe quoi quand $|c_{N+1}| > r(f_N)$ ? ).[/small]
En répétant la chose pour chaque $N$, en faisant décroître $(c_N)$ suffisamment vite on a que $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n$ est une fonction entière dont les zéros des sommes partielles sont tous réels et convergent vers ceux de $f$ qui a elle-même tous ses zéros réels et doit d'ailleurs être de la forme $bx^m \prod_j (1-\frac{x}{a_{\infty,j}})$.
Question : Sait-on estimer les $r(f_N)$ pour certaines classes de polynômes à racines réelles simples ? Une fois $f_N,r(f_N)$ connu peut-on estimer $r(f_N+c^{N+1} x^{N+1})$ ? Peut-on donner des exemples concrets de séries entières dont les sommes partielles ont tous leurs zéros réels ? A-t-on $|c_{N+1}| < r(f_N)$ ?
Si $f_N(x) = \sum_{n=0}^N c_n x^n$ est un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles et simples alors il existe $r=r(f_N)$ tel que pour tout $c_{N+1} \in ]-r,r[$, $\ \ f_{N+1}(x) = f_N(x)+c_{N+1} x^{N+1}$ est un polynôme dont toutes les racines sont réelles et simples.
$\quad$ [small](pour $c_{N+1}$ suffisamment petit, près de chaque zéro $a_{N,j}$ de $f_N$ on a que $f_{N+1}$ change de signe et $f_{N+1}'$ ne s'annule pas, donc on a $N$ zéros réels simples de $f_{N+1}$, son $N+1$-ème zéro doit donc être réel et simple. Peut-on estimer où est ce $N+1$ zéro, comment définir le $r(f_N)$ optimal, il se passe quoi quand $|c_{N+1}| > r(f_N)$ ? ).[/small]
En répétant la chose pour chaque $N$, en faisant décroître $(c_N)$ suffisamment vite on a que $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n$ est une fonction entière dont les zéros des sommes partielles sont tous réels et convergent vers ceux de $f$ qui a elle-même tous ses zéros réels et doit d'ailleurs être de la forme $bx^m \prod_j (1-\frac{x}{a_{\infty,j}})$.
Question : Sait-on estimer les $r(f_N)$ pour certaines classes de polynômes à racines réelles simples ? Une fois $f_N,r(f_N)$ connu peut-on estimer $r(f_N+c^{N+1} x^{N+1})$ ? Peut-on donner des exemples concrets de séries entières dont les sommes partielles ont tous leurs zéros réels ? A-t-on $|c_{N+1}| < r(f_N)$ ?
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Réponses
$\tilde{f_N}$ a même degré et presque les mêmes coefficients et zéros que $f_N$ et $\tilde{f_N}(0) = f_N(0)$.
Si $\frac{a_{j+1}}{a_j}$ croit suffisamment vite alors $f_N(x)=\sum_{n=0}^N c_n x^n$ est très proche de $ \prod_{j=1}^N (1-\frac{x}{a_j})$ sur $[0,2 a_j]$ donc a aussi $N$ changements de signes et les racines de $f_N(x)$ sont toutes réelles.