EDO d'ordre 2

Justement, je sais résoudre l'édo $y''- \alpha y$ ($\alpha >0$) de la manière suivante: on pose $y(y)= \exp(ry)$ et en injectant dans l'edo, on obtient l'équation algébrique $r^2= \alpha$ qui implique qu'on a deux racines : $r_1=\sqrt{\alpha}$ et $r_2=-\sqrt{\alpha}$ ainsi la solution générale est $$

y(y)= c_1 \exp(-\sqrt{\alpha}) + c_2 \exp(\sqrt{\alpha}).

$$ C'est bon ainsi ?
Puis je ne sais pas très bien comment passer proprement à $\cosh$ et $\sinh$ au lieu de $\exp(\sqrt{\alpha})$ et $\exp(-\sqrt{\alpha})$ avec les formules de Math Coss.
Merci de m'aider sur ce point.

Je pense qu'on utilise uniquement le fait que l'espace engendré par $(\exp, \overline{\exp})$ est $(\cosh,\sinh)$ donc on remplace directement $\overline{\exp}$ par $\cosh$ et $\exp$ par $\sinh$. C'est ok ?

Non c'est ok. J'ai une autre question. Je n'arrête pas de me creuser la tête mais rien.
On a $$
u(x,y)= c_0 y + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n \sinh\Big(\dfrac{n \pi}{a}y\Big) \cos\Big(\dfrac{n \pi}{a}x\Big),\quad 0 < x < a,\ 0<y<b.

$$ la condition $u(x,b)= f(x)$ (où $f$ est une fonction assez régulière), nous donne $$
u(x,b)= f(x)= c_ 0 +\sum_{n=}^{\infty} c_n \sinh\Big(\dfrac{n \pi}{a}b\Big) \cos\Big(\dfrac{n \pi}{a} x\Big).
$$ Jusque là tout va bien. L'objectif est de trouver les coefficients $c_0$ et $c_n$. Je lis qu'en utilisant les séries de Fourier, on obtient que $$
c_0= \dfrac{1}{ab} \displaystyle\int_0^a f(x) dx
$$ Comment on arrive à ce résultat ?:-S
Merci par avance.