EDO d'ordre 2
Bonjour,
on considère l'équation du second ordre $$
Y''(y) - \dfrac{n^2 \pi^2}{a^2}Y(y)=0,
$$ où $a$ est une constante donnée et $n \in \N^\star$.
Je lis que la solution générale de cette edo est : $$
Y(y)= C_1 \cosh\Big(\dfrac{n\pi}{a}y\Big) + C_2 \sinh\Big(\dfrac{n\pi}{a}y\Big).
$$ Je ne comprends pas d'où viennent le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique, comment on arrive à cette formule ?
Merci par avance.
on considère l'équation du second ordre $$
Y''(y) - \dfrac{n^2 \pi^2}{a^2}Y(y)=0,
$$ où $a$ est une constante donnée et $n \in \N^\star$.
Je lis que la solution générale de cette edo est : $$
Y(y)= C_1 \cosh\Big(\dfrac{n\pi}{a}y\Big) + C_2 \sinh\Big(\dfrac{n\pi}{a}y\Big).
$$ Je ne comprends pas d'où viennent le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique, comment on arrive à cette formule ?
Merci par avance.
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Réponses
Une idée , oubli le résultat et commence par résoudre l’équation $$y''-\alpha y=0$$
\begin{cases}\cosh y=\frac12\exp y+\frac12\overline\exp y\\\sinh y=\frac12\exp y-\frac12\overline\exp y\end{cases}\quad\text{et}\quad
\begin{cases}\exp(y)=\cosh y+\sinh y\\\overline\exp(y)=\cosh y-\sinh y.\end{cases}\] En termes plus élaborés, l'espace engendré par $(\exp,\overline\exp)$ est aussi l'espace engendré par $(\cosh,\sinh)$.
y(y)= c_1 \exp(-\sqrt{\alpha}) + c_2 \exp(\sqrt{\alpha}).
$$ C'est bon ainsi ?
Puis je ne sais pas très bien comment passer proprement à $\cosh$ et $\sinh$ au lieu de $\exp(\sqrt{\alpha})$ et $\exp(-\sqrt{\alpha})$ avec les formules de Math Coss.
Merci de m'aider sur ce point.
On a $$
u(x,y)= c_0 y + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n \sinh\Big(\dfrac{n \pi}{a}y\Big) \cos\Big(\dfrac{n \pi}{a}x\Big),\quad 0 < x < a,\ 0<y<b.
$$ la condition $u(x,b)= f(x)$ (où $f$ est une fonction assez régulière), nous donne $$
u(x,b)= f(x)= c_ 0 +\sum_{n=}^{\infty} c_n \sinh\Big(\dfrac{n \pi}{a}b\Big) \cos\Big(\dfrac{n \pi}{a} x\Big).
$$ Jusque là tout va bien. L'objectif est de trouver les coefficients $c_0$ et $c_n$. Je lis qu'en utilisant les séries de Fourier, on obtient que $$
c_0= \dfrac{1}{ab} \displaystyle\int_0^a f(x) dx
$$ Comment on arrive à ce résultat ?:-S
Merci par avance.
moi je vois déjà deux problèmes